Нелинейный подбор кривой данных Используя несколько подходов, основанных на проблеме
Общие рекомендации для настройки задачи наименьших квадратов должны сформулировать проблему способом, которая позволяет solve распознать, что проблема имеет форму наименьших квадратов. Когда вы делаете это, solve внутренне вызовы lsqnonlin, который эффективен при решении задач наименьших квадратов. Смотрите Целевую функцию Записи для Основанных на проблеме Наименьших квадратов.
Этот пример показывает КПД решателя наименьших квадратов путем сравнения эффективности lsqnonlin с тем из fminunc на той же проблеме. Кроме того, пример показывает дополнительные преимущества, что можно получить путем явного распознавания и обработки отдельно линейных частей проблемы.
Setup задач
Рассмотрите следующие данные:
Data = ...
[0.0000 5.8955
0.1000 3.5639
0.2000 2.5173
0.3000 1.9790
0.4000 1.8990
0.5000 1.3938
0.6000 1.1359
0.7000 1.0096
0.8000 1.0343
0.9000 0.8435
1.0000 0.6856
1.1000 0.6100
1.2000 0.5392
1.3000 0.3946
1.4000 0.3903
1.5000 0.5474
1.6000 0.3459
1.7000 0.1370
1.8000 0.2211
1.9000 0.1704
2.0000 0.2636];Постройте точки данных.
t = Data(:,1); y = Data(:,2); plot(t,y,'ro') title('Data points')
Проблема состоит в том, чтобы соответствовать функции
y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t)
к данным.
Подход решения Используя решатель по умолчанию
Чтобы начаться, задайте переменные оптимизации, соответствующие уравнению.
c = optimvar('c',2); lam = optimvar('lam',2);
Произвольно установите начальную точку x0 можно следующим образом: c(1) = 1, c(2) = 1, lam(1) = 1, и lam(2) = 0:
x0.c = [1,1]; x0.lam = [1,0];
Создайте функцию, которая вычисляет значение ответа во времена t когда параметрами является c и lam.
diffun = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t);
Преобразуйте diffun к выражению оптимизации, которое суммирует квадраты различий между функцией и данными y.
diffexpr = sum((diffun - y).^2);
Создайте задачу оптимизации, имеющую diffexpr как целевая функция.
ssqprob = optimproblem('Objective',diffexpr);Решите задачу с помощью решателя по умолчанию.
[sol,fval,exitflag,output] = solve(ssqprob,x0)
Solving problem using lsqnonlin. Local minimum possible. lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the value of the function tolerance.
sol = struct with fields:
c: [2x1 double]
lam: [2x1 double]
fval = 0.1477
exitflag =
FunctionChangeBelowTolerance
output = struct with fields:
firstorderopt: 7.8870e-06
iterations: 6
funcCount: 7
cgiterations: 0
algorithm: 'trust-region-reflective'
stepsize: 0.0096
message: '...'
objectivederivative: "forward-AD"
solver: 'lsqnonlin'
Постройте получившуюся кривую на основе возвращенных значений решения sol.c и sol.lam.
resp = evaluate(diffun,sol); hold on plot(t,resp) hold off
Подгонка надеется быть максимально хорошей.
Подход решения Используя fminunc
Решать задачу с помощью fminunc решатель, набор 'Solver' опция к 'fminunc' при вызове solve.
[xunc,fvalunc,exitflagunc,outputunc] = solve(ssqprob,x0,'Solver',"fminunc")
Solving problem using fminunc. Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
xunc = struct with fields:
c: [2x1 double]
lam: [2x1 double]
fvalunc = 0.1477
exitflagunc =
OptimalSolution
outputunc = struct with fields:
iterations: 30
funcCount: 37
stepsize: 0.0017
lssteplength: 1
firstorderopt: 2.9454e-05
algorithm: 'quasi-newton'
message: '...'
objectivederivative: "forward-AD"
solver: 'fminunc'
Заметьте, что fminunc найденный тем же решением как lsqcurvefit, но взял намного больше вычислений функции, чтобы сделать так. Параметры для fminunc находятся в противоположном порядке как те для lsqcurvefit; больший lam lam(2), не lam(1). Это не удивительно, порядок переменных произволен.
fprintf(['There were %d iterations using fminunc,' ... ' and %d using lsqcurvefit.\n'], ... outputunc.iterations,output.iterations)
There were 30 iterations using fminunc, and 6 using lsqcurvefit.
fprintf(['There were %d function evaluations using fminunc,' ... ' and %d using lsqcurvefit.'], ... outputunc.funcCount,output.funcCount)
There were 37 function evaluations using fminunc, and 7 using lsqcurvefit.
Разделение линейных и нелинейных проблем
Заметьте, что подходящая проблема линейна в параметрах c(1) и c(2). Это означает для любых значений lam(1) и lam(2), можно использовать оператор обратной косой черты, чтобы найти значения c(1) и c(2) это решает задачу наименьших квадратов.
Переделайте проблему как двумерную проблему, ища оптимальные значения lam(1) и lam(2). Значения c(1) и c(2) вычисляются на каждом шаге с помощью оператора обратной косой черты, аналогичного описанному выше. Для этого используйте fitvector функция, которая выполняет операцию обратной косой черты, чтобы получить c(1) и c(2) в каждой итерации решателя.
type fitvectorfunction yEst = fitvector(lam,xdata,ydata) %FITVECTOR Used by DATDEMO to return value of fitting function. % yEst = FITVECTOR(lam,xdata) returns the value of the fitting function, y % (defined below), at the data points xdata with parameters set to lam. % yEst is returned as a N-by-1 column vector, where N is the number of % data points. % % FITVECTOR assumes the fitting function, y, takes the form % % y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + ... + c(n)*exp(-lam(n)*t) % % with n linear parameters c, and n nonlinear parameters lam. % % To solve for the linear parameters c, we build a matrix A % where the j-th column of A is exp(-lam(j)*xdata) (xdata is a vector). % Then we solve A*c = ydata for the linear least-squares solution c, % where ydata is the observed values of y. A = zeros(length(xdata),length(lam)); % build A matrix for j = 1:length(lam) A(:,j) = exp(-lam(j)*xdata); end c = A\ydata; % solve A*c = y for linear parameters c yEst = A*c; % return the estimated response based on c
Решите задачу с помощью solve запуск с двумерной начальной точки x02.lam= [1,0] . Для этого сначала преобразуйте fitvector функционируйте к выражению оптимизации с помощью fcn2optimexpr. Смотрите Преобразуют Нелинейную Функцию в Выражение Оптимизации. Чтобы избежать предупреждения, дайте выходной размер получившегося выражения. Создайте новую задачу оптимизации с целью как сумма различий в квадрате между конвертированным fitvector функционируйте и данные y.
x02.lam = x0.lam; F2 = fcn2optimexpr(@(x) fitvector(x,t,y),lam,'OutputSize',[length(t),1]); ssqprob2 = optimproblem('Objective',sum((F2 - y).^2)); [sol2,fval2,exitflag2,output2] = solve(ssqprob2,x02)
Solving problem using lsqnonlin. Local minimum possible. lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the value of the function tolerance.
sol2 = struct with fields:
lam: [2x1 double]
fval2 = 0.1477
exitflag2 =
FunctionChangeBelowTolerance
output2 = struct with fields:
firstorderopt: 4.4018e-06
iterations: 10
funcCount: 33
cgiterations: 0
algorithm: 'trust-region-reflective'
stepsize: 0.0080
message: '...'
objectivederivative: "finite-differences"
solver: 'lsqnonlin'
КПД двумерного решения похож на то из четырехмерного решения:
fprintf(['There were %d function evaluations using the 2-d ' ... 'formulation, and %d using the 4-d formulation.'], ... output2.funcCount,output.funcCount)
There were 33 function evaluations using the 2-d formulation, and 7 using the 4-d formulation.
Разделите проблема Более устойчива к Исходному предположению
Выбор плохой начальной точки для исходной проблемы с четырьмя параметрами приводит к локальному решению, которое не является глобальной переменной. Выбор начальной точки с тем же плохим lam(1) и lam(2) значения для проблемы 2D параметра разделения приводят к глобальному решению. Чтобы показать это, повторно выполните исходную проблему со стартовой точкой, которая приводит к относительно плохому локальному решению, и сравните получившуюся подгонку с глобальным решением.
x0bad.c = [5 1]; x0bad.lam = [1 0]; [solbad,fvalbad,exitflagbad,outputbad] = solve(ssqprob,x0bad)
Solving problem using lsqnonlin. Local minimum possible. lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to its initial value is less than the value of the function tolerance.
solbad = struct with fields:
c: [2x1 double]
lam: [2x1 double]
fvalbad = 2.2173
exitflagbad =
FunctionChangeBelowTolerance
outputbad = struct with fields:
firstorderopt: 0.0036
iterations: 31
funcCount: 32
cgiterations: 0
algorithm: 'trust-region-reflective'
stepsize: 0.0012
message: '...'
objectivederivative: "forward-AD"
solver: 'lsqnonlin'
respbad = evaluate(diffun,solbad); hold on plot(t,respbad,'g') legend('Data','Global fit','Bad local fit','Location','NE') hold off
fprintf(['The residual norm at the good ending point is %f,' ... ' and the residual norm at the bad ending point is %f.'], ... fval,fvalbad)
The residual norm at the good ending point is 0.147723, and the residual norm at the bad ending point is 2.217300.