Нелинейный метод наименьших квадратов без и включая якобиан

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как решить задачу нелинейного метода наименьших квадратов двумя способами. Пример сначала решает задачу, не используя Функцию Якоби. Затем это показывает, как включать якобиан и иллюстрирует получившуюся повышенную эффективность.

Проблема имеет 10 условий с двумя неизвестными: найдите x, двумерный вектор, который минимизирует

$\sum_{k = 1}^{10} {(2 + 2 k - e^{k x_{1}} - e^{k x_{2}})}^{2},$

запуск в точке x0 = [0.3,0.4].

Поскольку lsqnonlin принимает, что сумма квадратов явным образом не формируется в функции пользователя, функция передала lsqnonlin должен вычислить функцию с векторным знаком

$F_{k} (x) = 2 + 2 k - e^{k x_{1}} - e^{k x_{2}},$

для k = 1 - 10 (то есть, F должен иметь 10 компонентов).

Решите задачу без якобиана

Функция помощника myfun заданный в конце этого примера реализует целевую функцию с векторным знаком без производной информации. Решите минимизацию, начинающую с точки x0.

x0 = [0.3,0.4]; % Starting guess
[x,resnorm,res,eflag,output] = lsqnonlin(@myfun,x0); % Invoke optimizer

Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

Исследуйте решение и количество вычислений функции.

disp(x)

    0.2578    0.2578

disp(resnorm)

  124.3622

disp(output.funcCount)

Решите задачу включая якобиан

Целевая функция достаточно проста, что можно вычислить ее якобиан. После определения в Якобианах Вектор-функций Функция Якоби представляет матрицу

$J_{k j} (x) = \frac{\partial F_{k} (x)}{\partial x_{j}} .$

Здесь, $F_{k} (x)$ k-ой компонент целевой функции. Этот пример имеет

$F_{k} (x) = 2 + 2 k - e^{k x_{1}} - e^{k x_{2}},$

так

$\begin{array}{l} J_{k 1} (x) = - k e^{k x_{1}} \\ J_{k 2} (x) = - k e^{k x_{2}} . \end{array}$

Функция помощника myfun2 заданный в конце этого примера реализует целевую функцию с якобианом. Установите опции, таким образом, решатель использует якобиан.

opts = optimoptions(@lsqnonlin,'SpecifyObjectiveGradient',true);

Запустите решатель.

lb = []; % No bounds
ub = [];
[x2,resnorm2,res2,eflag2,output2] = lsqnonlin(@myfun2,x0,lb,ub,opts);

Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

Решение совпадает с предыдущим решением.

disp(x2)

    0.2578    0.2578

disp(resnorm2)

  124.3622

Преимущество использования якобиана состоит в том, что решатель берет много меньше вычислений функции.

disp(output2.funcCount)

Функции помощника

Этот код создает myfun функция помощника.

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
end

Этот код создает myfun2 функция помощника.

function [F,J] = myfun2(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
if nargout > 1
    J = zeros(10,2);
    J(k,1) = -k.*exp(k*x(1));
    J(k,2) = -k.*exp(k*x(2));
end
end

Документация

Нелинейный метод наименьших квадратов без и включая якобиан

Решите задачу без якобиана

Решите задачу включая якобиан

Функции помощника

Похожие темы

Документация Optimization Toolbox

Поддержка