Нелинейный метод наименьших квадратов без и включая якобиан

В этом примере показано, как решить задачу нелинейного метода наименьших квадратов двумя способами. Пример сначала решает задачу, не используя Функцию Якоби. Затем это показывает, как включать якобиан и иллюстрирует получившуюся повышенную эффективность.

Проблема имеет 10 условий с двумя неизвестными: найдите x, двумерный вектор, который минимизирует

k=110(2+2k-ekx1-ekx2)2,

запуск в точке x0 = [0.3,0.4].

Поскольку lsqnonlin принимает, что сумма квадратов явным образом не формируется в функции пользователя, функция передала lsqnonlin должен вычислить функцию с векторным знаком

Fk(x)=2+2k-ekx1-ekx2,

для k = 1 - 10 (то есть, F должен иметь 10 компонентов).

Решите задачу без якобиана

Функция помощника myfun заданный в конце этого примера реализует целевую функцию с векторным знаком без производной информации. Решите минимизацию, начинающую с точки x0.

x0 = [0.3,0.4]; % Starting guess
[x,resnorm,res,eflag,output] = lsqnonlin(@myfun,x0); % Invoke optimizer
Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

Исследуйте решение и количество вычислений функции.

disp(x)
    0.2578    0.2578
disp(resnorm)
  124.3622
disp(output.funcCount)
    72

Решите задачу включая якобиан

Целевая функция достаточно проста, что можно вычислить ее якобиан. После определения в Якобианах Вектор-функций Функция Якоби представляет матрицу

Jkj(x)=Fk(x)xj.

Здесь, Fk(x) k-ой компонент целевой функции. Этот пример имеет

Fk(x)=2+2k-ekx1-ekx2,

так

Jk1(x)=-kekx1Jk2(x)=-kekx2.

Функция помощника myfun2 заданный в конце этого примера реализует целевую функцию с якобианом. Установите опции, таким образом, решатель использует якобиан.

opts = optimoptions(@lsqnonlin,'SpecifyObjectiveGradient',true);

Запустите решатель.

lb = []; % No bounds
ub = [];
[x2,resnorm2,res2,eflag2,output2] = lsqnonlin(@myfun2,x0,lb,ub,opts);
Local minimum possible.
lsqnonlin stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance.

Решение совпадает с предыдущим решением.

disp(x2)
    0.2578    0.2578
disp(resnorm2)
  124.3622

Преимущество использования якобиана состоит в том, что решатель берет много меньше вычислений функции.

disp(output2.funcCount)
    24

Функции помощника

Этот код создает myfun функция помощника.

function F = myfun(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
end

Этот код создает myfun2 функция помощника.

function [F,J] = myfun2(x)
k = 1:10;
F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));
if nargout > 1
    J = zeros(10,2);
    J(k,1) = -k.*exp(k*x(1));
    J(k,2) = -k.*exp(k*x(2));
end
end

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте