Линейные уравнения эластичности

Сводные данные уравнений линейной эластичности

Матрица жесткости линейного эластичного изотропного материала содержит два параметра:

  • E, модуль Молодежи (эластичный модуль)

  • ν, отношение Пуассона

Задайте следующие количества.

σ=напряжениеf= массовая силаε=деформацияu=смещение

Уравнение равновесия

·σ=f

Линеаризовавшее, отношение смещения деформации маленького смещения

ε=12(u+uT)

Баланс углового момента утверждает, что напряжение симметрично:

σij=σji

Обозначение Войт для конститутивного уравнения линейной изотропной модели

[σ11σ22σ33σ23σ13σ12]=E(1+ν)(12ν)[1ννν000ν1νν000νν1ν00000012ν00000012ν00000012ν][ε11ε22ε33ε23ε13ε12]

Расширенная форма использует все записи в σ, и ε принимает симметрию во внимание.

[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]=E(1+ν)(12ν)[1ν000ν000ν12ν000000012ν00000012ν000001ν000ν12ν00012ν0012ν01ν][ε11ε12ε13ε21ε22ε23ε31ε32ε33](1)

В предыдущей схеме, • означает, что запись симметрична.

3D линейная проблема эластичности

Форма тулбокса для уравнения

·(cu)=f

Но уравнения в сводных данных не имеют ∇u один, это появляется вместе с транспонировать:

ε=12(u+uT)

Это - прямое осуществление, чтобы преобразовать это уравнение для деформации ε к ∇u. В форме вектор-столбца,

u=[ux/xux/yux/zuy/xuy/yuy/zuz/xuz/yuz/z]

Поэтому можно записать уравнение смещения деформации как

ε=[100000000012012000000012000120001201200000000010000000001201200012000120000000120120000000001]uAu

где A обозначает отображенную матрицу. Так переписывая  уравнение 1 и вспоминая, что • означает, что запись симметрична, можно записать тензор жесткости как

σ=E(1+ν)(12ν)[1ν000ν000ν12ν000000012ν00000012ν000001ν000ν12ν00012ν0012ν01ν]Au=E(1+ν)(12ν)[1ν000ν000ν01/2ν01/2ν00000001/2ν0001/2ν0001/2ν01/2ν00000ν0001ν000ν000001/2ν01/2ν0001/2ν0001/2ν00000001/2ν01/2ν0ν000ν0001ν]u

Сделайте определения

μ=E2(1+ν)λ=Eν(1+ν)(12ν)E(1ν)(1+ν)(12ν)=2μ+λ

и уравнение становится

σ=[2μ+λ000λ000λ0μ0μ0000000μ000μ000μ0μ00000λ0002μ+λ000λ00000μ0μ000μ000μ0000000μ0μ0λ000λ0002μ+λ]ucu

Если вы решаете 3-D линейную задачу эластичности при помощи PDEModel вместо StructuralModel, используйте elasticityC3D(E,nu) функция (включенный в ваше программное обеспечение), чтобы получить c коэффициент. Эта функция использует линеаризовавшее, предположение маленького смещения для изотропного материала. Для примеров, которые используют эту функцию, смотрите StationaryResults.

Плоское напряжение

Плоское напряжение является условием, которое преобладает в плоской пластине в x-y плоскость, загруженная только в ее собственной плоскости и без z - сдержанность направления. Для плоского напряжения, σ 13 = σ 23 = σ 31 = σ 32 = σ 33 = 0. Принимая изотропные условия, закон Гука для плоского напряжения дает следующее отношение напряжения деформации:

[ε11ε222ε12]=1E[1ν0ν10002+2ν][σ11σ22σ12]

При инвертировании этого уравнения получите отношение деформации напряжения:

(σ11σ22σ12)=E1ν2(1ν0ν10001ν2)(ε11ε222ε12)

Преобразуйте уравнение для деформации ε к ∇u.

ε=[10000121200121200001]uAu

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

[σ11σ12σ21σ22]=[E1ν200Eν1ν20E2(1+ν)E2(1+ν)00E2(1+ν)E2(1+ν)0Eν1ν200E1ν2]u=[2μ(μ+λ)2μ+λ002λμ2μ+λ0μμ00μμ02λμ2μ+λ002μ(μ+λ)2μ+λ]u

Плоская деформация

Плоская деформация является состоянием деформации, где нет никаких смещений в z - направления и смещений в x - и y - направления являются функциями x и y, но не z. Отношение деформации напряжения незначительно отличается от плоского случая напряжения, и тот же набор материальных параметров используется.

Для плоской деформации, ε 13 = ε 23 = ε 31 = ε 32 = ε 33 = 0. Принимая изотропные условия, отношение деформации напряжения может быть записано можно следующим образом:

(σ11σ22σ12)=E(1+ν)(12ν)(1νν0ν1ν00012ν2)(ε11ε222ε12)

Преобразуйте уравнение для деформации ε к ∇u.

ε=[10000121200121200001]uAu

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

[σ11σ12σ21σ22]=[E(1ν)(1+ν)(12ν)00Eν(1+ν)(12ν)0E2(1+ν)E2(1+ν)00E2(1+ν)E2(1+ν)0Eν(1+ν)(12ν)00E(1ν)(1+ν)(12ν)]u=[2μ+λ00λ0μμ00μμ0λ002μ+λ]u

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте