3-D графики решения и градиента с MATLAB® Functions

Типы 3-D графиков решения, доступных в MATLAB

Кроме того, чтобы появиться и графики градиента, доступные с функциями построения графика УЧП, можно использовать возможности графики MATLAB® создать больше типов графиков для 3-D модели.

2D срезы через 3-D геометрию

В этом примере показано, как получить графики от 2D срезов до 3-D геометрии.

Проблема

ut-Δu=f

на 3-D плите с размерностями 10 10 на 1, где u=0 во время t = 0, граничными условиями является Дирихле, и

f(x,y,z)=1+y+10z2

Настройте и решите УЧП

Задайте функцию для нелинейного f коэффициент в синтаксисе, как дали в f Коэффициенте для specifyCoefficients.

function bcMatrix = myfffun(region,state)

bcMatrix = 1+10*region.z.^2+region.y;

Импортируйте геометрию и исследуйте метки поверхности.

model = createpde;
g = importGeometry(model,'Plate10x10x1.stl');
pdegplot(g,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type quiver, patch, line.

Поверхности пронумерованы 1 - 6.

Создайте коэффициенты и граничные условия.

c = 1;
a = 0;
d = 1;
f = @myfffun;
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',d,'c',c,'a',a,'f',f);

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','face',1:6,'u',0);

Установите нулевое начальное условие.

setInitialConditions(model,0);

Не создайте mesh со сторонами больше, чем 0,3.

generateMesh(model,'Hmax',0.3);

Установите времена от 0 до 0.2 и решите УЧП.

tlist = 0:0.02:0.2;
results = solvepde(model,tlist);

Постройте срезы через решение

Создайте сетку (x,y,z) точки, где x = 5Y диапазоны от 0 до 10, и z диапазоны от 0 до 1. Интерполируйте решение этих узлов решетки и всех случаев.

yy = 0:0.5:10;
zz = 0:0.25:1;
[YY,ZZ] = meshgrid(yy,zz);
XX = 5*ones(size(YY));
uintrp = interpolateSolution(results,XX,YY,ZZ,1:length(tlist));

Матрица решения uintrp имеет 11 столбцов, один в течение каждого раза в tlist. Возьмите интерполированное решение для второго столбца, который соответствует времени 0.02.

usol = uintrp(:,2);

Элементы usol произойдите из интерполяции решения XX, YY, и ZZ матрицы, которые являются каждым 5 21, соответствуя z-by-y переменные. Измените usol к тому же самому 5 21 размер, и делают объемную поверхностную диаграмму решения. Также сделайте объемные поверхностные диаграммы, соответствующие временам 0.06, 0.10, и 0.20.

figure
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,1)
surf(usol)
title('t = 0.02')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,4);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,2)
surf(usol)
title('t = 0.06')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,6);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,3)
surf(usol)
title('t = 0.10')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

usol = uintrp(:,11);
usol = reshape(usol,size(XX));
subplot(2,2,4)
surf(usol)
title('t = 0.20')
zlim([0,1.5])
xlim([1,21])
ylim([1,5])

Figure contains 4 axes. Axes 1 with title t = 0.02 contains an object of type surface. Axes 2 with title t = 0.06 contains an object of type surface. Axes 3 with title t = 0.10 contains an object of type surface. Axes 4 with title t = 0.20 contains an object of type surface.

Очертите срезы через 3-D решение

В этом примере показано, как создать срезы контура в различных направлениях через решение в 3-D геометрии.

Настройте и решите УЧП

Проблема состоит в том, чтобы решить уравнение Пуассона с нулем граничные условия Дирихле для сложной геометрии. Уравнение Пуассона

-u=f.

Partial Differential Equation Toolbox™ решает уравнения в форме

-(cu)+au=f.

Таким образом, можно представлять проблему путем установки c=1 и a=0. Произвольно набор f=10.

c = 1;
a = 0;
f = 10;

Первый шаг в решении любой 3-D задачи УЧП должен создать Модель УЧП. Это - контейнер, который содержит количество уравнений, геометрии, mesh и граничных условий для вашего УЧП. Создайте модель, затем импортируйте 'ForearmLink.stl' файл и представление геометрия.

N = 1;
model = createpde(N);
importGeometry(model,'ForearmLink.stl');
pdegplot(model,'FaceAlpha',0.5)
view(-42,24)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type quiver, patch, line.

Задайте коэффициенты УЧП

Включайте коэффициенты УЧП в model.

specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c,'a',a,'f',f);

Создайте нуль граничные условия Дирихле на всех поверхностях.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',1:model.Geometry.NumFaces,'u',0);

Создайте mesh и решите УЧП.

generateMesh(model);
result = solvepde(model);

Постройте решение как срезы контура

Поскольку граничные условия u=0 на всех поверхностях, решении u является ненулевым только во внутренней части. Чтобы исследовать внутреннюю часть, возьмите прямоугольную сетку, которая покрывает геометрию интервалом одного модуля в каждом координатном направлении.

[X,Y,Z] = meshgrid(0:135,0:35,0:61);

Для графического вывода и анализа, создайте PDEResults объект из решения. Интерполируйте результат в каждом узле решетки.

V = interpolateSolution(result,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));

Постройте срезы контура для различных значений z.

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],[],0:5:60)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
view(-11,14)
axis equal

Figure contains an axes. The axes contains 335 objects of type patch.

Постройте срезы контура для различных значений y.

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],1:6:31,[])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
colorbar
view(-62,34)
axis equal

Figure contains an axes. The axes contains 91 objects of type patch.

Сохраните память путем оценки по мере необходимости

Для больших проблем у можно закончиться память при создании прекрасной 3-D сетки. Кроме того, это может быть длительно, чтобы оценить решение на полной сетке. Чтобы сохранить память и время, оцените только в точках, которые вы строите. Можно также использовать этот метод, чтобы интерполировать к наклоненным сеткам, или на другие поверхности.

Например, интерполируйте решение сетки на наклоненной плоскости 0x135, 0y35, и z=x/10+y/2. Постройте оба контура, и окрасил поверхностные данные. Используйте прекрасную сетку с разрядкой 0.2.

[X,Y] = meshgrid(0:0.2:135,0:0.2:35);
Z = X/10 + Y/2;
V = interpolateSolution(result,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));
figure
subplot(2,1,1)
contour(X,Y,V);
axis equal
title('Contour Plot on Tilted Plane')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
subplot(2,1,2)
surf(X,Y,V,'LineStyle','none');
axis equal
view(0,90)
title('Colored Plot on Tilted Plane')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar

Figure contains 2 axes. Axes 1 with title Contour Plot on Tilted Plane contains an object of type contour. Axes 2 with title Colored Plot on Tilted Plane contains an object of type surface.

Графики градиентов и потоков

В этом примере показано, как вычислить аппроксимированные градиенты решения, и как использовать те градиенты в графике полей градиента или оптимальном графике.

Проблемой является вычисление среднего выходного времени Броуновской частицы из области, которая содержит абсорбирующий (Escape) контуры и отражающиеся контуры. Для получения дополнительной информации смотрите проблему Избавления лишь по счастливой случайности. УЧП является уравнением Пуассона с постоянными коэффициентами. Геометрия является простым прямоугольным телом. Решение u(x,y,z) представляет среднее время, оно берет частицу, запускающуюся в положении (x,y,z) выходить из области.

Импортируйте и просмотрите геометрию

model = createpde;
importGeometry(model,'Block.stl');
pdegplot(model,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)
view(-42,24)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type quiver, patch, line.

Условия границы множества

Установите поверхности 1, 2, и 5 быть местами, где частица может выйти. На этих поверхностях, решении u=0. Сохраните значение по умолчанию, отражающее граничные условия на поверхностях 3, 4, и 6.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',[1,2,5],'u',0);

Создайте коэффициенты УЧП

УЧП

-Δu=-u=2

В синтаксисе Partial Differential Equation Toolbox™,

-(cu)+au=f

Это уравнение переводит в коэффициенты c = 1, a = 0, и f = 2. Введите коэффициенты.

c = 1;
a = 0;
f = 2;
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c','a',a,'f',f);

Создайте Mesh и решите УЧП

Инициализируйте mesh.

generateMesh(model);

Решите УЧП.

results = solvepde(model);

Исследуйте решение в графике среза контура

Создайте сетку и интерполируйте решение сетки.

[X,Y,Z] = meshgrid(0:135,0:35,0:61);
V = interpolateSolution(results,X,Y,Z);
V = reshape(V,size(X));

Создайте график среза контура для пяти фиксированных значений y- координата.

figure
colormap jet
contourslice(X,Y,Z,V,[],0:4:16,[])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
xlim([0,100])
ylim([0,20])
zlim([0,50])
axis equal
view(-50,22)
colorbar

Figure contains an axes. The axes contains 64 objects of type patch.

Частица имеет самое большое среднее выходное время около точки (x,y,z)=(100,0,0).

Используйте градиенты для дрожи и оптимизируйте графики

Исследуйте решение более подробно путем оценки градиента решения. Используйте довольно крупную сетку так, чтобы вы видели детали о дрожи и оптимальных графиках.

[X,Y,Z] = meshgrid(1:9:99,1:3:20,1:6:50);
[gradx,grady,gradz] = evaluateGradient(results,X,Y,Z);

Постройте векторы градиента. Сначала измените аппроксимированные градиенты к форме mesh.

gradx = reshape(gradx,size(X));
grady = reshape(grady,size(Y));
gradz = reshape(gradz,size(Z));

figure
quiver3(X,Y,Z,gradx,grady,gradz)
axis equal
xlabel 'x'
ylabel 'y'
zlabel 'z'
title('Quiver Plot of Estimated Gradient of Solution')

Figure contains an axes. The axes with title Quiver Plot of Estimated Gradient of Solution contains an object of type quiver.

Постройте потоки аппроксимированного градиента. Запустите потоки с более разреженного набора начальных точек.

hold on
[sx,sy,sz] = meshgrid([1,46],1:6:20,1:12:50);
streamline(X,Y,Z,gradx,grady,gradz,sx,sy,sz)
title('Quiver Plot with Streamlines')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Quiver Plot with Streamlines contains 41 objects of type quiver, line.

Потоки показывают что маленькие значения y и z дайте большие средние выходные времена. Они также показывают что x- координата оказывает значительное влияние на u когда x мал, но когда x больше 40, большие значения оказывают мало влияния на u. Точно так же, когда z меньше 20, его значения оказывают мало влияния на u.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте