Основы метода конечных элементов

Базовый алгоритм Partial Differential Equation Toolbox™ использует метод конечных элементов (FEM) для проблем, заданных на ограниченных областях в 2D или трехмерном пространстве. В большинстве случаев элементарные функции не могут выразить решений даже простых УЧП на сложных конфигурациях. Метод конечных элементов описывает сложную геометрию как набор субдоменов путем генерации mesh на геометрии. Например, можно аппроксимировать вычислительную область Ω объединением треугольников (2D геометрия) или тетраэдры (3-D геометрия). Субдомены формируют mesh, и каждая вершина называется узлом. Следующий шаг должен аппроксимировать исходную проблему УЧП на каждом субдомене при помощи более простых уравнений.

Например, рассмотрите основное эллиптическое уравнение.

(cu)+au=f on domain Ω

Предположим, что это уравнение является предметом к граничному условию Дирихле u=r on ΩD и Неймановы граничные условия на ΩN. Здесь, Ω=ΩDΩN контур Ω.

Первый шаг в FEM должен преобразовать исходный дифференциал (strong) форма УЧП в интеграл (weak) форма путем умножения с тестовой функцией v и интеграция по области Ω.

Ω(·(cu)+auf)vdΩ=0v

Тестовые функции выбраны из набора функций (функциональный пробел), которые исчезают на фрагменте Дирихле контура, v=0 on ΩD. Выше уравнения может считаться взвешенным усреднением остатка с помощью всех возможных функций взвешивания v. Набор функций, которые являются допустимыми решениями, u, слабой формы УЧП выбран так, чтобы они удовлетворили Дирихле БК, u = r на ΩD.

При интеграции частями (Формула зеленого) термин второго порядка приводит к:

Ω(cuv+auv)dΩΩNn·(cu)vdΩN+ΩDn·(cu)vdΩD=ΩfvdΩv

Используйте Нейманово граничное условие, чтобы заменить второй срок на левой стороне уравнения. Кроме того, отметьте это v=0 on ΩD аннулирует третий срок. Получившееся уравнение:

Ω(cuv+auv)dΩ+ΩNquvdΩN=ΩNgvdΩN+ΩfvdΩv

Обратите внимание на то, что все манипуляции до этого этапа выполняются на континууме Ω, глобальная область проблемы. Поэтому набор допустимых функций и испытательных функций охватывает бесконечно-размерные функциональные пробелы. Следующий шаг должен дискретизировать слабую форму путем подразделения Ω в меньшие субдомены или элементы Ωe, где Ω=Ωe. Этот шаг эквивалентен проекции слабой формы УЧП на конечномерное подпространство. Используя обозначения uh и vh представлять конечномерный эквивалент допустимых и испытательных функций, определяемых на Ωe, можно записать дискретизированную слабую форму УЧП как:

Ωe(cuhvh+auhvh)dΩe+ΩNequhvhdΩNe=ΩNegvhdΩNe+ΩefvhdΩevh

Затем позвольте ϕ i, с i = 1, 2..., N p, будьте основными функциями кусочного полинома для подпространства, содержащего наборы uh и vh, затем какой-то конкретный uh может быть описан как линейная комбинация основных функций:

uh=1NpUiϕi

Здесь U i является все же неопределенными скалярными коэффициентами. Замена uh в к дискретизированной слабой форме УЧП и использующий каждого vh=φi как тестовые функции и интегрирование выполнения по элементу дает к системе уравнений N p в терминах N неизвестные p U i.

Обратите внимание на то, что метод конечных элементов аппроксимирует решение путем минимизации связанной функции ошибок. Процесс минимизации автоматически находит линейную комбинацию основных функций, которая является самой близкой к решению u.

FEM дает к системе KU = F, где матричный K и правая сторона F содержат интегралы в терминах тестовых функций ϕ i, ϕ j и коэффициенты c, a, f, q и g, описывающий задачу. U вектора решения содержит коэффициенты расширения uh, которые являются также значениями uh в каждом узле xk (k = 1,2 для 2D проблемы или k = 1,2,3 для 3-D проблемы) начиная с uh (xk) = Ui.

Методы FEM также используются, чтобы решить более общие задачи, такие как:

  • Зависящие от времени проблемы. Решение u (x, t) уравнения

    dut(cu)+au=f

    может быть аппроксимирован

    uh(x,t)=i=1NUi(t)ϕi(x)

    Результатом является система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

    MdUdt+KU=F

    В два раза производные приводят к ОДУ второго порядка

    Md2Udt2+KU=F

  • Задачи о собственных значениях. Решить

    (cu)+au=λdu

    для неизвестных u и λ, где λ является комплексным числом. Используя дискретизацию FEM, вы решаете алгебраическую задачу о собственных значениях KU = λ MU, чтобы найти uh как приближение к u. Чтобы решить задачи о собственных значениях, использовать solvepdeeig.

  • Нелинейные проблемы. Если коэффициенты, c, a, f, q или g являются функциями u или ∇u, УЧП, называются нелинейные, и FEM дает к нелинейной системе K (U) U = F (U).

Подводя итоги, подход FEM:

  1. Представляет исходную область проблемы как набор элементов.

  2. Для каждого элемента, заменяет исходной проблемой УЧП набором простых уравнений, которые локально аппроксимируют исходные уравнения. Применяет граничные условия для контуров каждого элемента. Для стационарных линейных задач, где коэффициенты не зависят от решения или его градиента, результатом является линейная система уравнений. Для стационарных проблем, где коэффициенты зависят от решения или его градиента, результатом является система нелинейных уравнений. Для зависящих от времени проблем результатом является набор ОДУ.

  3. Собирает получившиеся уравнения и граничные условия в глобальную систему уравнений, которая моделирует целую проблему.

  4. Решает получившуюся систему алгебраических уравнений или ОДУ с помощью линейных решателей или численного интегрирования, соответственно. Тулбокс внутренне вызывает соответствующие решатели MATLAB® для этой задачи.

Ссылки

[1] Приготовьте, Роберт Д., Дэвид С. Молкус и Майкл Э. Плеша. Концепции и Приложения Анализа конечных элементов. 3-й выпуск. Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1989.

[2] Гильберт Странг и Джордж Фикс. Анализ метода конечных элементов. 2-й выпуск. Веллесли, MA: Wellesley-Кембриджское Нажатие, 2008.

Смотрите также

| |

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте