Зафиксированная квадратная изотропная пластина с универсальной загрузкой давления

В этом примере показано, как вычислить отклонение структурной пластины при загрузке давления.

Дифференциальное уравнение с частными производными для тонкой изотропной пластины с загрузкой давления

где $$D$$ изгибающаяся жесткость пластины, данной

и $$E$$ модуль эластичности, $$\nu$$ отношение Пуассона, $$h$$ толщина пластины, $$w$$ поперечное отклонение пластины, и $$p$$ загрузка давления.

Граничные условия для зафиксированных контуров $$w=0$$ и $$w^{\prime }=0$$, где $$w^{\prime }$$ производная $$w$$ в направлении, нормальном к контуру.

Partial Differential Equation Toolbox™ не может непосредственно решить это уравнение пластины четвертого порядка. Преобразуйте уравнение четвертого порядка в эти два дифференциальных уравнения с частными производными второго порядка, где $$v$$ новая зависимая переменная.

Вы не можете непосредственно задать граничные условия для обоих $$w$$ и $$w^{\prime }$$ в этой системе второго порядка. Вместо этого задайте это $$w^{\prime }$$ 0, и задать $$v^{\prime }$$ так, чтобы $$w$$ также равняется 0 на контуре. Чтобы задать эти условия, используйте жесткие "пружины", распределенные вдоль контура. Пружины прикладывают поперечную силу сдвига к ребру пластины. Задайте силу сдвига вдоль контура из-за этих пружин как $$n\cdot D\nabla v=-kw$$, где $$n$$ нормальное к контуру, и $$k$$ жесткость пружин. Это выражение является обобщенным Неймановым граничным условием, поддержанным тулбоксом. Значение $$k$$ должно быть достаточно большим так, чтобы $$w$$ приблизительно 0 во всех точках на контуре. Это также должно быть малым достаточно, чтобы избежать числовых ошибок из-за плохо обусловленной матрицы жесткости.

Тулбокс использует зависимые переменные ${\mathit{u}}_1$ и ${\mathit{u}}_2$ вместо $$w$$ и $$v$$. Перепишите две переменные использования дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка ${\mathit{u}}_1$ и ${\mathit{u}}_2$:

Создайте модель PDE для системы двух уравнений.

model = createpde(2);

Создайте квадратную геометрию и включайте ее в модель.

len = 10;
gdm = [3 4 0 len len 0 0 0 len len]';
g = decsg(gdm,'S1',('S1')');
geometryFromEdges(model,g);

Постройте геометрию с метками ребра.

figure
pdegplot(model,'EdgeLabels','on')
ylim([-1,11])
axis equal
title 'Geometry With Edge Labels Displayed'

Коэффициенты УЧП должны быть заданы с помощью формата, требуемого тулбоксом. Для получения дополнительной информации смотрите

C коэффициент в этом примере является тензором, который может быть представлен как матрица 2 на 2 блоков 2 на 2:

Эта матрица далее сглажена в вектор-столбец шести элементов. Записи в полной матрице 2 на 2 (определение коэффициента a) и 2 1 вектор (определение коэффициента f) следуют непосредственно из определения системы 2D уравнения.

E = 1.0e6; % Modulus of elasticity
nu = 0.3; % Poisson's ratio
thick = 0.1; % Plate thickness
pres = 2; % External pressure

D = E*thick^3/(12*(1 - nu^2));

c = [1 0 1 D 0 D]';
a = [0 0 1 0]';
f = [0 pres]';
specifyCoefficients(model,'m',0,'d',0,'c',c,'a',a,'f',f);

Чтобы задать граничные условия, сначала задайте пружинную жесткость.

k = 1e7;

Задайте распределенные пружины на всех четырех ребрах.

bOuter = applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',(1:4),...
                                     'g',[0 0],'q',[0 0; k 0]);

Сгенерируйте mesh.

generateMesh(model);

Решите модель.

res = solvepde(model);

Доступ к решению в узловых местоположениях.

u = res.NodalSolution;

Постройте поперечное отклонение.

numNodes = size(model.Mesh.Nodes,2);
figure
pdeplot(model,'XYData',u(:,1),'Contour','on')
title 'Transverse Deflection'

Найдите поперечное отклонение в центре пластины.

numNodes = size(model.Mesh.Nodes,2);
wMax = min(u(1:numNodes,1))

wMax = -0.2763

Сравните результат с отклонением в центре пластины, вычисленном аналитически.

wMax = -.0138*pres*len^4/(E*thick^3)

wMax = -0.2760