Динамический анализ зафиксированного луча

В этом примере показано, как анализировать динамическое поведение луча при универсальной загрузке давления и зафиксированный в обоих концах.

Этот пример использует имперскую систему модулей. Если вы заменяете их на значения, заданные в метрической системе, гарантируете, что задаете все значения с помощью той же системы.

В этом примере загрузка давления внезапно применяется в равное нулю время. Величина давления достаточно высока, чтобы произвести отклонения того же порядка как толщина луча. Точное предсказание этого типа поведения требует геометрически нелинейных уравнений эластичности. Этот пример решает зафиксированную задачу эластичности луча с помощью и линейных и нелинейных формулировок уравнений эластичности.

Один подход к обработке больших отклонений должен рассмотреть уравнения эластичности в деформированном положении. Однако тулбокс использует уравнения на основе исходной геометрии. Поэтому необходимо использовать лагранжевую формулировку нелинейной эластичности, где усилия, деформации и координаты относятся к исходной геометрии. Лагранжевая формулировка уравнений равновесия

где $$\rho$$ существенная плотность, $$u$$ вектор смещения, $$F$$ градиент деформации, $$S$$ второй тензор напряжения Пайола-Кирчофф, и $$f$$ вектор массовой силы. Также можно написать это уравнение в форме тензора:

Несмотря на то, что эта формулировка составляет большие отклонения, она принимает, что деформации остаются маленькими, так, чтобы линейные эластичные конститутивные отношения применялись. Для 2D плоского случая напряжения можно написать конститутивные отношения в матричной форме:

$$E_{ij}$$ Зелено-лагранжев тензор деформации:

Для изотропного материала:

где $$E$$ модуль Молодежи, и $$\nu$$ отношение Пуассона. Для получения дополнительной информации о лагранжевой формулировке для нелинейной эластичности, см. [1].

Эти уравнения полностью описывают геометрически нелинейную плоскую задачу напряжения. Этот пример использует Symbolic Math Toolbox™, чтобы задать c коэффициент в форме, требуемой Partial Differential Equation Toolbox™. C коэффициентом является функциональный cCoefficientLagrangePlaneStress. Можно использовать его с любым геометрическим нелинейным плоским расчетом напряжений модели, сделанной из изотропного материала. Можно найти его под matlab/R20XXx/examples/pde/main.

model = createpde(2);

blength = 5; % Beam length, in
height = 0.1; % Thickness of the beam, in

l2 = blength/2;
h2 = height/2;

rect = [3 4 0 l2 l2 0 -h2 -h2  h2 h2]';
g = decsg(rect,'R1',('R1')');

pg = geometryFromEdges(model,g);

figure
pdegplot(g,'EdgeLabels','on')
axis([-.1 1.1*l2 -5*h2 5*h2])

E = 3.0e7; % Young's modulus of the material, lbs/in^2
gnu = 0.3; % Poisson's ratio of the material
rho = 0.3/386; % Density of the material
G = E/(2.*(1 + gnu));
mu = 2*G*gnu/(1 - gnu);
c = [2*G + mu; 0; G;   0; G; mu; 0;  G; 0; 2*G + mu];
f = [0 0]'; % No body forces
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c',c,'a',0,'f',f);

symBC = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',4,'u',0,'EquationIndex',1);

clampedBC = applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',2,'u',[0 0]);

sigma = 2e2;
presBC = applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',3,'g',[0 sigma]);

setInitialConditions(model,0,0);

generateMesh(model);

tlist = linspace(0,3e-3,100);
result = solvepde(model,tlist);

xc = 1.25;
yc = 0;
u4Linear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

c  = @(location,state) cCoefficientLagrangePlaneStress(E,gnu,location,state);
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c', c,'a',0,'f',f);

result = solvepde(model,tlist);

u4NonLinear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

figure
plot(tlist,u4Linear(:),tlist,u4NonLinear(:))
legend('Linear','Nonlinear')
title 'Deflection at Beam Center'
xlabel 'Time, seconds'
ylabel 'Deflection, inches'
grid on