Спроектируйте контроллер

Из-за номинального поведения первого порядка объекта выберите архитектуру управления PI. Для желаемого коэффициента затухания с обратной связью ξ и собственная частота ${\omega }_{\mathit{n}}$, уравнения проекта для пропорционального и интегральных составляющих (на основе номинальной постоянной времени разомкнутого контура 0,2):

Чтобы изучить, как неопределенность в G влияет на достижимую полосу пропускания замкнутой системы, спроектируйте два контроллера, оба достижения ξ = 0.707, но с различным ${\omega }_{\mathit{n}}$ значения, 3 и 7.5.

xi = 0.707;
wn1 = 3;
wn2 = 7.5; 

Kp1 = 2*xi*wn1/5 - 1;
Ki1 = (wn1^2)/5;
C1 = tf([Kp1,Ki1],[1 0]);

Kp2 = 2*xi*wn2/5 - 1;
Ki2 = (wn2^2)/5;
C2 = tf([Kp2,Ki2],[1 0]);

Исследуйте эффективность контроллера

Номинальная полоса пропускания замкнутой системы достигается C2 находится в области где G имеет значительную неопределенность модели. Поэтому ожидается, что изменения модели вызывают значительные ухудшения в эффективности с обратной связью с тем контроллером. Чтобы исследовать эффективность, сформируйте системы с обратной связью и постройте переходные процессы выборок получившихся систем.

T1 = feedback(G*C1,1);
T2 = feedback(G*C2,1);
tfinal = 3;
step(T1,'b',T2,'r',tfinal)

Переходные процессы для T2 покажите более быстрое время нарастания потому что C2 устанавливает более высокую полосу пропускания замкнутой системы. Однако как ожидалось изменения модели оказывают большее влияние.

Можно использовать robstab проверять робастность устойчивости систем с обратной связью к изменениям модели.

opt = robOptions('Display','on');
stabmarg1 = robstab(T1,opt);

Computing peak...  Percent completed: 100/100
System is robustly stable for the modeled uncertainty.
 -- It can tolerate up to 401% of the modeled uncertainty.
 -- There is a destabilizing perturbation amounting to 401% of the modeled uncertainty.
 -- This perturbation causes an instability at the frequency 3.74 rad/seconds.

stabmarg2 = robstab(T2,opt);

Computing peak...  Percent completed: 100/100
System is robustly stable for the modeled uncertainty.
 -- It can tolerate up to 125% of the modeled uncertainty.
 -- There is a destabilizing perturbation amounting to 125% of the modeled uncertainty.
 -- This perturbation causes an instability at the frequency 11.4 rad/seconds.

Отображение дает сумму неопределенности, которую система может терпеть, не идя нестабильный. В обоих случаях системы с обратной связью могут терпеть больше чем 100% смоделированной области значений неопределенности при оставлении устойчивыми. stabmarg содержит нижние и верхние границы на запасе устойчивости. Запас устойчивости, больше, чем 1 среднее значение система, устойчив для всех значений смоделированной неопределенности. Запас устойчивости меньше чем 1 среднее значение там является допустимыми значениями неопределенных элементов, которые делают систему нестабильной.

Сравните поведение номинала и Худшего Случая

В то время как обе системы устойчивы для всех изменений, их эффективность затронута до различных степеней. Чтобы определить, как неопределенность влияет на эффективность с обратной связью, можно использовать wcgain вычислить эффект худшего случая неопределенности на пиковой величине функции чувствительности с обратной связью, S = 1/(1+GC). Это пиковое усиление этой функции обычно коррелируется с суммой перерегулирования в переходном процессе; достигните максимума усиление, больше, чем каждый указывает на перерегулирование.

Сформируйте функции чувствительности с обратной связью и вызовите wcgain.

S1 = feedback(1,G*C1);
S2 = feedback(1,G*C2);
[maxgain1,wcu1] = wcgain(S1);
[maxgain2,wcu2] = wcgain(S2);

maxgain дает нижние и верхние границы на усилении пика худшего случая передаточной функции чувствительности, а также определенную частоту, где максимальное усиление происходит. Исследуйте границы на усилении худшего случая для обеих систем.

maxgain1

maxgain1 = struct with fields:
           LowerBound: 1.8832
           UpperBound: 1.8866
    CriticalFrequency: 3.2410

maxgain2

maxgain2 = struct with fields:
           LowerBound: 4.6286
           UpperBound: 4.6381
    CriticalFrequency: 11.6174

wcu содержит особые значения неопределенных элементов, которые достигают этого поведения худшего случая. Используйте usubs заменить этими значениями худшего случая неопределенные элементы и сравнить поведение худшего случая и номинал.

wcS1 = usubs(S1,wcu1);
wcS2 = usubs(S2,wcu2);
bodemag(S1.NominalValue,'b',wcS1,'b');
hold on
bodemag(S2.NominalValue,'r',wcS2,'r');

В то время как C2 достигает лучшей номинальной чувствительности, чем C1, номинальная полоса пропускания замкнутой системы расширяет слишком далеко в частотный диапазон, где неопределенность процесса является очень большой. Следовательно эффективность худшего случая C2 является нижним к C1 для этой конкретной неопределенной модели.