Смещение и изменчивость в периодограмме

В этом примере показано, как уменьшать смещение и изменчивость в периодограмме. Используя окно может уменьшать смещение в периодограмме, и окна использования с усреднением могут уменьшать изменчивость.

Используйте широкий смысл, стационарный авторегрессивный (AR) процессы, чтобы показать эффекты смещения и изменчивости в периодограмме. Процессы AR представляют удобную модель, потому что их PSDs имеют выражения закрытой формы. Создайте модель AR (2) следующей формы:

y(n)-0.75y(n-1)+0.5y(n-2)=ε(n),

где ε(n) нулевая средняя белая шумовая последовательность с некоторым заданным отклонением. В этом примере примите отклонение и период выборки, чтобы быть 1. Чтобы симулировать предыдущий AR (2) процесс, создайте все-полюс (БИХ) фильтр. Просмотрите ответ величины фильтра.

B2 = 1;
A2 = [1 -0.75 0.5];
fvtool(B2,A2)

Figure Filter Visualization Tool - Magnitude Response (dB) contains an axes and other objects of type uitoolbar, uimenu. The axes with title Magnitude Response (dB) contains an object of type line.

Этот процесс является полосой пропускания. Динамический диапазон PSD составляет приблизительно 14,5 дБ, когда можно определить со следующим кодом.

[H2,W2] = freqz(B2,A2,1e3,1);
dr2 = max(20*log10(abs(H2)))-min(20*log10(abs(H2)))
dr2 = 14.4984

Путем исследования размещения полюсов вы видите, что этот AR (2) процесс устойчив. Два полюса в модульном кругу.

fvtool(B2,A2,'Analysis','polezero')

Figure Filter Visualization Tool - Pole-Zero Plot contains an axes and other objects of type uitoolbar, uimenu. The axes with title Pole-Zero Plot contains 4 objects of type line, text.

Затем создайте AR (4) процесс, описанный следующим уравнением:

y(n)-2.7607y(n-1)+3.8106y(n-2)-2.6535y(n-3)+0.9238y(n-4)=ε(n).

Используйте следующий код, чтобы просмотреть ответ величины этой БИХ-системы.

B4 = 1;
A4 = [1 -2.7607 3.8106 -2.6535 0.9238];
fvtool(B4,A4)

Figure Filter Visualization Tool - Magnitude Response (dB) contains an axes and other objects of type uitoolbar, uimenu. The axes with title Magnitude Response (dB) contains an object of type line.

Исследуя размещение полюсов, вы видите этот AR (4), процесс также устойчив. Четыре полюса в модульном кругу.

fvtool(B4,A4,'Analysis','polezero')

Figure Filter Visualization Tool - Pole-Zero Plot contains an axes and other objects of type uitoolbar, uimenu. The axes with title Pole-Zero Plot contains 4 objects of type line, text.

Динамический диапазон этого PSD составляет приблизительно 65 дБ, намного больше, чем модель AR (2).

[H4,W4] = freqz(B4,A4,1e3,1);
dr4 = max(20*log10(abs(H4)))-min(20*log10(abs(H4)))
dr4 = 64.6213

Чтобы симулировать реализацию от них AR (p) процессы, используйте randn и filter. Установите генератор случайных чисел на настройки по умолчанию приводить к повторяемым результатам. Постройте реализацию.

rng default
x = randn(1e3,1);
y2 = filter(B2,A2,x);
y4 = filter(B4,A4,x);

subplot(2,1,1)
plot(y2)
title('AR(2) Process')
xlabel('Time')

subplot(2,1,2)
plot(y4)
title('AR(4) Process')
xlabel('Time')

Figure contains 2 axes. Axes 1 with title AR(2) Process contains an object of type line. Axes 2 with title AR(4) Process contains an object of type line.

Вычислите и постройте периодограммы AR (2) и AR (4) реализация. Сравните результаты с истинным PSD. Обратите внимание на то, что periodogram преобразует частоты в миллигерц для графического вывода.

Fs = 1;
NFFT = length(y2);

subplot(2,1,1)
periodogram(y2,rectwin(NFFT),NFFT,Fs)
hold on
plot(1000*W2,20*log10(abs(H2)),'r','linewidth',2)
title('AR(2) PSD and Periodogram')

subplot(2,1,2)
periodogram(y4,rectwin(NFFT),NFFT,Fs)
hold on
plot(1000*W4,20*log10(abs(H4)),'r','linewidth',2)
title('AR(4) PSD and Periodogram')
text(350,20,'\downarrow Bias')

Figure contains 2 axes. Axes 1 with title AR(2) PSD and Periodogram contains 2 objects of type line. Axes 2 with title AR(4) PSD and Periodogram contains 3 objects of type line, text.

В случае AR (2) процесс, оценка периодограммы следует за формой истинного PSD, но показывает значительную изменчивость. Это происходит из-за низких степеней свободы. Явные отрицательные отклонения (в дБ) в периодограмме объяснены путем взятия журнала случайной переменной хи-квадрата с двумя степенями свободы.

В случае AR (4) процесс, периодограмма следует за формой истинного PSD в низких частотах, но отклоняется от PSD в высоких частотах. Это - эффект свертки с ядром Феджера. Большой динамический диапазон AR (4) процесс по сравнению с AR (2) процесс - то, что делает смещение более явным.

Смягчите смещение, продемонстрированное в AR (4) процесс при помощи заострения или окно. В этом примере используйте Окно Хэмминга, чтобы заостриться AR (4) реализация прежде, чем получить периодограмму.

figure
periodogram(y4,hamming(length(y4)),NFFT,Fs)
hold on
plot(1000*W4,20*log10(abs(H4)),'r','linewidth',2)
title('AR(4) PSD and Periodogram with Hamming Window')
legend('Periodogram','AR(4) PSD')

Figure contains an axes. The axes with title AR(4) PSD and Periodogram with Hamming Window contains 2 objects of type line. These objects represent Periodogram, AR(4) PSD.

Обратите внимание на то, что оценка периодограммы теперь следует за истинным AR (4) PSD по целому частотному диапазону Найквиста. Оценки периодограммы все еще только имеют две степени свободы, таким образом, использование окна не уменьшает изменчивость периодограммы, но это делает адресное смещение.

По непараметрической спектральной оценке два метода для увеличения степеней свободы и сокращения изменчивости периодограммы являются перекрытым усреднением сегмента валлийцев и мультизаостряются спектральная оценка.

Получите оценку мультизаострения AR (4) временные ряды с помощью времени половина продукта пропускной способности 3,5. Постройте результат.

NW = 3.5;

figure
pmtm(y4,NW,NFFT,Fs)
hold on
plot(1000*W4,20*log10(abs(H4)),'r','linewidth',2)
legend('Multitaper Estimate','AR(4) PSD')

Figure contains an axes. The axes with title Thomson Multitaper Power Spectral Density Estimate contains 2 objects of type line. These objects represent Multitaper Estimate, AR(4) PSD.

Метод мультизаострения производит оценку PSD со значительно меньшим количеством изменчивости, чем периодограмма. Поскольку метод мультизаострения также использует окна, вы видите, что смещение периодограммы также обращено.

Смотрите также

|

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте