Периодограмма не является сопоставимым средством оценки истинной степени спектральной плотности (PSD) широкого смысла стационарный процесс. Чтобы уменьшать изменчивость в периодограмме — и таким образом произвести сопоставимую оценку PSD — средние значения метода мультизаострения изменили полученное использование периодограмм семейства взаимно ортогональных окон или tapers. В дополнение к взаимной ортогональности заострения также имеют оптимальные свойства концентрации частоты времени. И ортогональность и концентрация частоты времени заострений очень важны для успеха метода мультизаострения. Смотрите Дискретные Вытянутые Сфероидальные Последовательности (Slepian) для краткого описания последовательностей Slepian, используемых в методе мультизаострения Томсона.

Метод мультизаострения использует измененные периодограммы K, каждое полученное использование различной последовательности Slepian как окно. Пусть

обозначьте модифицированную периодограмму, полученную с k th последовательность Slepian, _gk (n). В его самой простой форме метод мультизаострения просто составляет в среднем измененные периодограммы K, чтобы произвести мультизаострение оценка PSD:

Подход мультизаострения Томсона, введенный в [4], напоминает перекрытый метод усреднения сегмента валлийцев в тех обоих средних значениях приблизительно некоррелированые оценки PSD. Однако два подхода отличаются по тому, как они производят эти некоррелированые оценки PSD. Метод мультизаострения использует целый сигнал в каждой модифицированной периодограмме. Ортогональность заострений Slepian декоррелирует различные модифицированные периодограммы. Подход валлийцев использует сегменты сигнала в каждой модифицированной периодограмме, и сегментация декоррелирует различные модифицированные периодограммы.

Уравнение для S ^(MT) (f) соответствует 'unity' опция в pmtm. Однако, как объяснено в Дискретных Вытянутых Сфероидальных Последовательностях (Slepian), последовательности Slepian не обладают равной энергетической концентрацией в диапазоне частот интереса. Чем выше порядок последовательности Slepian, тем менее сконцентрированная энергия последовательности находится в полосе [–W, W] с концентрацией, данной собственным значением. Следовательно, это может быть выгодно, чтобы использовать собственные значения, чтобы взвесить измененные периодограммы K до усреднения. Это соответствует 'eigen' опция в pmtm.

Используя собственные значения последовательности, чтобы произвести взвешенное среднее модифицированных периодограмм составляет свойства концентрации частоты последовательностей Slepian. Однако это не составляет взаимодействие между степенью спектральная плотность вероятностного процесса и концентрацией частоты последовательностей Slepian. А именно, области частоты, где вероятностный процесс имеет мало силы, менее надежно оцениваются в модифицированных периодограммах с помощью последовательностей Slepian высшего порядка. Это приводит доводы в пользу зависимого частотой адаптивного процесса, который считает не только для концентрации частоты последовательности Slepian, но также и для распределения электроэнергии во временных рядах. Это адаптивное взвешивание соответствует 'adapt' опция в pmtm и значение по умолчанию для вычисления оценки мультизаострения.

Деривация последовательностей Slepian проистекает из проблемной частоты дискретного времени "концентрации". Для всех ^ℓ2 последовательностей, ограниченных индексом 0, 1, …, N – 1, проблема ищет последовательность, имеющую максимальную концентрацию ее энергии в диапазоне частот [–W, W] с |W | <1/2Δt.

Это составляет нахождение собственных значений и соответствующих собственных векторов N-by-N самопримыкающий положительный полуопределенный оператор. Поэтому собственные значения являются действительными и неотрицательными, и собственные вектора, соответствующие отличным собственным значениям, являются взаимно ортогональными. В этой конкретной проблеме собственные значения ограничены 1, и собственное значение является мерой энергетической концентрации последовательности в интервале частоты [–W, W].

Задачей о собственных значениях дают

Нулевой порядок последовательность DPSS, g ₀, является собственным вектором, соответствующим самому большому собственному значению. Последовательность DPSS первого порядка, g ₁, является собственным вектором, соответствующим следующему самому большому собственному значению, и является ортогональной к последовательности нулевого порядка. Последовательность DPSS второго порядка, g ₂, является собственным вектором, соответствующим третьему по величине собственному значению, и является ортогональной к двум последовательностям DPSS более низкоуровневым. Поскольку оператором является N-by-N, существуют собственные вектора N. Однако для данной длины последовательности N и заданная пропускная способность [–W, W], существует приблизительно 2NW – 1 последовательность DPSS с собственными значениями очень близко к единице. Используйте nw задавать NW.

Заострения синуса, альтернатива последовательностям Slepian, предложенным в [3], заданы

В отличие от последовательностей Slepian, заострения синуса могут быть вычислены непосредственно без потребности настроить и решить уравнение собственного значения. Это делает заострения синуса намного быстрее, чтобы вычислить. Заострения синуса имеют спектральную концентрацию близко к той из последовательностей Slepian, но не нуждаются в дополнительных параметрах, чтобы задать спектральную пропускную способность. Пропускная способность оценки PSD, вычисленной с помощью заострений синуса, может быть настроена локально путем изменения количества заострений с помощью m.

Сгенерируйте первые пять заострений Slepian, соответствующих продукту полупропускной способности времени 3. Задайте длину заострения 1 000.

N = 1000;
nw = 3;
ns = 2*(nw)-1;

tprs = dpss(N,nw,ns);
lbs = "Slepian";

Сгенерируйте первые пять заострений синуса.

n = 1:N;
k = 1:ns;

tprs(:,:,2) = sqrt(2/(N+1))*sin(pi*n'*k/(N+1));
lbs(2) = "Sine";

Постройте два набора заострений.

for kj = 1:2
    subplot(2,1,kj)
    plot(tprs(:,:,kj))
    title(lbs(kj))
    legend(append('k = ',string(k+kj-2)), ...
        'Orientation','horizontal','Location','south')
    legend('boxoff')
    ylim([-0.09 0.07])
end