Обобщенное распределение экстремума

Определение

Функция плотности вероятности для обобщенного распределения экстремума с параметром положения µ, масштабный коэффициент σ, и параметр формы k≠ 0

$y = f (x | k, μ, σ) = (\frac{1}{σ}) \exp (- {(1 + k \frac{(x - μ)}{σ})}^{- \frac{1}{k}}) {(1 + k \frac{(x - μ)}{σ})}^{- 1 - \frac{1}{k}}$

для

$1 + k \frac{X- μ)}{σ} > 0$

k > 0 соответствует случаю Типа II, в то время как k < 0 соответствует случаю Типа III. Для k = 0, соответствие Типу, который я заключаю в корпус, плотность,

$y = f (x | 0, μ, σ) = (\frac{1}{σ}) \exp (- \exp (- \frac{(x - μ)}{σ}) - \frac{(x - μ)}{σ})$

Фон

Как распределение экстремума, обобщенное распределение экстремума часто используется, чтобы смоделировать наименьшее или самое большое значение среди большого набора независимых, тождественно распределенные случайные значения, представляющие измерения или наблюдения. Например, у вас могут быть пакеты 1 000 шайб от производственного процесса. Если вы записываете размер самой большой шайбы в каждом пакете, данные известны как максимумы блока (или минимумы, если вы записываете самое маленькое). Можно использовать обобщенное распределение экстремума в качестве модели для тех максимумов блока.

Обобщенный экстремум комбинирует три более простых распределения в одну форму, позволяя непрерывную область значений возможных форм, которая включает все три из более простых распределений. Можно использовать любое из тех распределений, чтобы смоделировать конкретный набор данных максимумов блока. Обобщенное распределение экстремума позволяет вам “позволять данным решить”, какое распределение является соответствующим.

Эти три случая, покрытые обобщенным распределением экстремума, часто упоминаются как Типы I, II, и III. Каждый тип соответствует ограничивающему распределению максимумов блока от различного класса базовых распределений. Распределения, хвосты которых уменьшаются экспоненциально, такой как нормальное, вывод к Типу I. Распределения, хвосты которых уменьшаются как полином, такой как t Студента, вывод к Типу II. Распределения, хвосты которых конечны, таковы как бета, вывод к Типу III.

Типы I, II, и III иногда также упоминаются как Gumbel, Фреше и типы Вейбалла, хотя эта терминология может немного сбить с толку. Тип I (Gumbel) и Тип III (Weibull) случаи на самом деле соответствуют зеркальным отображениям обычных распределений Гамбеля и Вейбалла, например, как вычислено функциями evcdf и evfit , или wblcdf и wblfit, соответственно. Наконец, Тип II (Фреше) случай эквивалентен взятию обратной величины значений от стандартного распределения Weibull.

Параметры

Если вы генерируете 250 блоков 1 000 случайных значений, чертивших от t распределения Студента с 5 степенями свободы, и берете их максимумы, можно соответствовать обобщенному распределению экстремума к тем максимумам.

blocksize = 1000;
nblocks = 250;
rng default  % For reproducibility
t = trnd(5,blocksize,nblocks);
x = max(t); % 250 column maxima
paramEsts = gevfit(x)

paramEsts = 1×3

    0.1185    1.4530    5.8929

Заметьте, что оценка параметра формы (первый элемент) положительна, который является тем, что вы ожидали бы на основе максимумов блока от распределения t Студента.

histogram(x,2:20,'FaceColor',[.8 .8 1]);
xgrid = linspace(2,20,1000);
line(xgrid,nblocks*...
     gevpdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),paramEsts(3)));

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type histogram, line.

Примеры

Вычислите Обобщенное Распределение Экстремума PDF

Скрипт Open Live Script

Сгенерируйте примеры функций плотности вероятности для трех канонических форм обобщенного распределения экстремума.

x = linspace(-3,6,1000);
y1 = gevpdf(x,-.5,1,0); 
y2 = gevpdf(x,0,1,0); 
y3 = gevpdf(x,.5,1,0);
plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':')
legend({'K < 0, Type III' 'K = 0, Type I' 'K > 0, Type II'})

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent K < 0, Type III, K = 0, Type I, K > 0, Type II.

Заметьте, что для k > 0, распределение имеет нулевую плотность вероятности для x таким образом, что $x < - σ / k + μ$ .

Для k < 0, распределение имеет нулевую плотность вероятности для $x > - σ / k + μ$ .

Для k = 0, нет никакой верхней или нижней границы.

Смотрите также

GeneralizedExtremeValueDistribution

Документация