Документация

Прямые методы

Прямые методы непосредственно используют определение распределения.

Например, рассмотрите биномиальные случайные числа. Биномиальное случайное число является количеством голов в $$N$$ броски монеты с вероятностью $$p$$ из головы на любом одном броске. Если вы генерируете $$N$$ универсальные случайные числа на интервале (0,1) и считайте номер меньше, чем $$p$$, затем количество является биномиальным случайным числом параметрами $$N$$ и $$p$$.

Эта функция является простой реализацией биномиального RNG с помощью прямого подхода:

function X = directbinornd(N,p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand(N,1);
        X(i) = sum(u < p);
    end
end

Например:

rng('default') % For reproducibility
X = directbinornd(100,0.3,1e4,1);
histogram(X,101)

binornd функционируйте использует модифицированный прямой метод, на основе определения биномиальной случайной переменной как сумма Бернуллиевых случайных переменных.

Можно легко преобразовать предыдущий метод в генератор случайных чисел для распределения Пуассона параметром $$\lambda$$. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения как $$N$$ бесконечность подходов, $$p$$ нуль подходов, и $$Np$$ считается зафиксированным в $$\lambda$$. Чтобы сгенерировать случайные числа Пуассона, создайте версию предыдущего генератора, который вводит $$\lambda$$ вместо $$N$$ и $$p$$, и внутренне наборы $$N$$ к некоторому большому количеству и $$p$$ к $$\lambda /N$$.

poissrnd функционируйте на самом деле использует два прямых метода:

Методы инверсии

Методы инверсии основаны на наблюдении, что непрерывные кумулятивные функции распределения (cdfs) располагаются однородно на интервале (0,1). Если $$u$$ универсальное случайное число на (0,1), затем использование $$X=F^{-1}(U)$$ генерирует случайное число $$X$$ от непрерывного распределения с заданным cdf $$F$$.

Например, следующий код генерирует случайные числа от определенного Экспоненциального распределения с помощью инверсии cdf и универсального генератора случайных чисел MATLAB® rand:

rng('default') % For reproducibility
mu = 1;
X = expinv(rand(1e4,1),mu);

Сравните распределение сгенерированных случайных чисел к PDF заданного экспоненциала.

numbins = 50;
h = histogram(X,numbins,'Normalization','pdf');
hold on
x = linspace(h.BinEdges(1),h.BinEdges(end));
y = exppdf(x,mu);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold off

Методы инверсии также работают на дискретные распределения. Сгенерировать случайное число $$X$$ от дискретного распределения с вектором вероятностной меры $$P(X=x_i)=p_i$$ где $$x_0<x_1<x_2<...$$, сгенерируйте универсальное случайное число $$u$$ на (0,1) и затем набор $$X=x_i$$ если $$F(x_{i-1})<u<F(x_i)$$.

Например, следующая функция реализует метод инверсии для дискретного распределения с вектором вероятностной меры $$p$$:

function X = discreteinvrnd(p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand;
        I = find(u < cumsum(p));
        X(i) = min(I);
    end
end

Используйте функцию, чтобы сгенерировать случайные числа от любого дискретного распределения.

p = [0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1]; % Probability mass function (pmf) values
X = discreteinvrnd(p,1e4,1);

В качестве альтернативы можно использовать discretize функция, чтобы сгенерировать дискретные случайные числа.

X = discretize(rand(1e4,1),[0 cusmsum(p)]);

Постройте гистограмму сгенерированных случайных чисел и подтвердите затем, что распределение следует за заданными pmf значениями.

histogram(categorical(X),'Normalization','probability')

Методы приемного отклонения

Функциональная форма некоторых распределений мешает или длительный, чтобы сгенерировать случайные числа, использующие прямой или методы инверсии. Методы приемного отклонения обеспечивают альтернативу в этих случаях.

Методы приемного отклонения начинаются с универсальных случайных чисел, но требуют дополнительного генератора случайных чисел. Если ваша цель состоит в том, чтобы сгенерировать случайное число от непрерывного распределения с PDF $$f$$, методы приемного отклонения сначала генерируют случайное число от непрерывного распределения с PDF $$g$$ удовлетворение $$f(x)\le cg(x)$$ для некоторых $$c$$ и все $$x$$.

Непрерывный RNG приемного отклонения продолжает можно следующим образом:

Для КПД "дешевый" метод необходим для генерации случайных чисел от $$g$$, и скаляр $$c$$ должен быть малым. Ожидаемое количество итераций, чтобы произвести одно случайное число $$c$$.

Следующая функция реализует метод приемного отклонения для генерации случайных чисел от PDF $$f$$ данный $$f$$, $$g$$, RNG grnd для $$g$$, и константа $$c$$:

function X = accrejrnd(f,g,grnd,c,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        accept = false;
        while accept == false
            u = rand();
            v = grnd();
            if c*u <= f(v)/g(v)
               X(i) = v;
               accept = true;
            end
        end
    end
end

Например, функция $$f(x)=x{e}^{-x^2/2}$$ удовлетворяет условиям для PDF на $$[0,\infty )$$ (неотрицательный и объединяется к 1). Экспоненциальная PDF со средним значением 1, $$f(x)=e^{-x}$$, доминирует $$g$$ для $$c$$ больше, чем приблизительно 2,2. Таким образом можно использовать rand и exprnd сгенерировать случайные числа от $$f$$:

f = @(x)x.*exp(-(x.^2)/2);
g = @(x)exp(-x);
grnd = @()exprnd(1);
rng('default') % For reproducibility
X = accrejrnd(f,g,grnd,2.2,1e4,1);

PDF $$f$$ на самом деле Распределение Релея параметром формы 1. Этот пример сравнивает распределение случайных чисел, сгенерированных методом приемного отклонения со сгенерированными raylrnd:

Y = raylrnd(1,1e4,1); 
histogram(X)
hold on
histogram(Y)
legend('A-R RNG','Rayleigh RNG')

raylrnd функционируйте использует метод преобразования, описывая случайную переменную Рейли в терминах случайной переменной хи-квадрата, которая вы вычисляете использование randn.

Методы приемного отклонения также работают на дискретные распределения. В этом случае цель состоит в том, чтобы сгенерировать случайные числа от распределения с вероятностной мерой $$P_p(X=i)=p_i$$, предположение, что у вас есть метод для генерации случайных чисел от распределения с вероятностной мерой $$P_q(X=i)=q_i$$. RNG продолжает можно следующим образом: