Quasi-random number generators (QRNGs) производит очень универсальные выборки единичного гиперкуба. QRNGs минимизируют discrepancy между распределением сгенерированных точек и распределением с равными пропорциями точек в каждом подкубе универсального раздела гиперкуба. В результате QRNGs систематически заполняют “отверстия” в любом начальном сегменте сгенерированной квазислучайной последовательности.
В отличие от псевдослучайных последовательностей, описанных в общих Методах Генерации Псевдослучайного числа, квазислучайные последовательности проваливают много статистических тестов на случайность. Аппроксимация истинной случайности, однако, не является их целью. Квазислучайные последовательности стремятся заполнить пробел однородно и сделать так таким способом, которым начальные сегменты аппроксимируют это поведение до заданной плотности.
Приложения QRNG включают:
Интегрирование квази-Монте-Карло (QMC). Методы Монте-Карло часто используются, чтобы оценить трудные, многомерные интегралы без решения закрытой формы. QMC использует квазислучайные последовательности, чтобы улучшить свойства сходимости этих методов.
Заполнение экспериментальных планов. Во многих экспериментальных настройках проведение измерений при каждой факторной установке является дорогим или неосуществимым. Квазислучайные последовательности обеспечивают эффективную, универсальную выборку пробела проекта.
Глобальная оптимизация. Алгоритмы оптимизации обычно находят локальный оптимум в окружении начального значения. При помощи квазислучайной последовательности начальных значений, ищет глобальные оптимумы, однородно производят области притяжения всех локальных минимумов.
Вообразите простую 1D последовательность, которая производит целые числа от 1 до 10. Это - основная последовательность, и первыми тремя точками является [1,2,3]:
Теперь посмотрите на как Scramble, Skip, и Leap работайте совместно:
Scramble — Скремблирование перестановок точки одним из нескольких различных способов. В этом примере примите, что скремблирование превращает последовательность в 1,3,5,7,9,2,4,6,8,10. Первыми тремя точками является теперь [1,3,5]:
Skip — Skip значение задает количество начальных точек, чтобы проигнорировать. В этом примере, набор Skip значение к 2. Последовательностью является теперь 5,7,9,2,4,6,8,10 и первыми тремя точками является [5,7,9]:
Leap — Leap значение задает число точек, чтобы проигнорировать для каждого, которого вы берете. Продолжение примера с Skip установите на 2, если вы устанавливаете Leap к 1, последовательность использует любую точку. В этом примере последовательностью является теперь 5,9,4,8 и первыми тремя точками является [5,9,4]:
Функции Statistics and Machine Learning Toolbox™ поддерживают эти квазислучайные последовательности:
Последовательности Холтона. Произведенный haltonset функция. Эти последовательности используют различные главные базисы, чтобы сформировать последовательно более прекрасные универсальные разделы единичного интервала в каждой размерности.
Последовательности Sobol. Произведенный sobolset функция. Эти последовательности используют основу 2, чтобы сформировать последовательно более прекрасные универсальные разделы единичного интервала, и затем переупорядочить координаты в каждой размерности.
Латинские последовательности гиперкуба. Произведенный lhsdesign функция. Хотя не квазислучайный в смысле минимизации несоответствия, эти последовательности, тем не менее, производят разреженные универсальные выборки, полезные в экспериментальных планах.
Квазислучайные последовательности являются функциями от положительных целых чисел до единичного гиперкуба. Чтобы быть полезным в приложении, начальный point set последовательности должен быть сгенерирован. Укажите, что наборы являются матрицами размера n-by-d, где n является числом точек, и d является размерностью производимого гиперкуба. Функции haltonset и sobolset создайте наборы точки со свойствами заданной квазислучайной последовательности. Начальные сегменты наборов точки сгенерированы net метод haltonset и sobolset классы, но точки могут быть сгенерированы и получены доступ в более общем плане использующая индексация круглой скобки.
Из-за пути, которым сгенерированы квазислучайные последовательности, они могут содержать нежелательные корреляции, особенно в их начальных сегментах, и особенно в более высоких размерностях. Чтобы решить эту проблему, квазислучайная точка часто устанавливает skip, leap или значения scramble в последовательности. haltonset и sobolset функции позволяют вам задавать обоих Skip и Leap свойство квазислучайной последовательности, и scramble метод haltonset и sobolset классы позволяют вам, применяют множество борющихся методов. Скремблирование уменьшает корреляции, также улучшая однородность.
В этом примере показано, как использовать haltonset создать 2D набор квазислучайной точки Холтона.
Создайте haltonset объект p, это пропускает первые 1 000 значений последовательности и затем сохраняет каждую 101-ю точку.
rng default % For reproducibility p = haltonset(2,'Skip',1e3,'Leap',1e2)
p =
Halton point set in 2 dimensions (89180190640991 points)
Properties:
Skip : 1000
Leap : 100
ScrambleMethod : none
Объект p инкапсулирует свойства заданной квазислучайной последовательности. Набор точки конечен с длиной, определенной Skip и Leap свойства и пределами на размере точки устанавливают индексы.
Используйте scramble применять скремблирование противоположного основания.
p = scramble(p,'RR2')p =
Halton point set in 2 dimensions (89180190640991 points)
Properties:
Skip : 1000
Leap : 100
ScrambleMethod : RR2
Используйте net сгенерировать первые 500 точек.
X0 = net(p,500);
Это эквивалентно
X0 = p(1:500,:);
Значения точки устанавливают X0 не сгенерированы и сохранены в памяти, пока вы не получаете доступ к p использование net или индексация круглой скобки.
Чтобы ценить природу квазислучайных чисел, создайте график рассеивания этих двух размерностей в X0.
scatter(X0(:,1),X0(:,2),5,'r') axis square title('{\bf Quasi-Random Scatter}')
Сравните это с рассеянием универсальных псевдослучайных чисел, сгенерированных rand функция.
X = rand(500,2); scatter(X(:,1),X(:,2),5,'b') axis square title('{\bf Uniform Random Scatter}')
Квазислучайное рассеяние кажется более универсальным, избегая сбора в группу в псевдослучайном рассеянии.
В статистическом смысле квазислучайные числа слишком универсальны, чтобы пройти традиционные тесты случайности. Например, тест Кольмогорова-Смирнова, выполняемый kstest, используется, чтобы оценить, имеет ли набор точки универсальное случайное распределение. Когда выполняется неоднократно на универсальных псевдослучайных выборках, таких как сгенерированные rand, тест производит равномерное распределение p-значений.
nTests = 1e5; sampSize = 50; PVALS = zeros(nTests,1); for test = 1:nTests x = rand(sampSize,1); [h,pval] = kstest(x,[x,x]); PVALS(test) = pval; end histogram(PVALS,100) h = findobj(gca,'Type','patch'); xlabel('{\it p}-values') ylabel('Number of Tests')
Результаты очень отличаются, когда тест неоднократно выполняется на универсальных квазислучайных выборках.
p = haltonset(1,'Skip',1e3,'Leap',1e2); p = scramble(p,'RR2'); nTests = 1e5; sampSize = 50; PVALS = zeros(nTests,1); for test = 1:nTests x = p(test:test+(sampSize-1),:); [h,pval] = kstest(x,[x,x]); PVALS(test) = pval; end histogram(PVALS,100) xlabel('{\it p}-values') ylabel('Number of Tests')
Маленькие p-значения подвергают сомнению нулевую гипотезу, что данные равномерно распределены. Если гипотеза будет верна, приблизительно 5% p-значений, как ожидают, упадут ниже 0.05. Результаты удивительно сопоставимы в своем отказе бросить вызов гипотезе.
Квазислучайный streams, произведенный qrandstream функционируйте, используются, чтобы сгенерировать последовательные квазислучайные выходные параметры, вместо того, чтобы указать наборы определенного размера. Потоки используются как псевдоrng, такой как rand, когда клиентские приложения требуют источника квазислучайных чисел неопределенного размера, к которому можно получить доступ периодически. Свойства квазислучайного потока, такие как его тип (Холтон или Sobol), размерность, пропуск, прыжок, и скремблирование, установлены, когда поток создается.
В реализации квазислучайные потоки являются по существу очень большими наборами квазислучайной точки, хотя к ним получают доступ по-другому. state квазислучайного потока является скалярным индексом следующего вопроса, который будет взят из потока. Используйте qrand метод qrandstream класс, чтобы сгенерировать точки от потока, начинающего с текущего состояния. Используйте reset метод, чтобы сбросить состояние к 1. В отличие от наборов точки, потоки не поддерживают индексацию круглой скобки.
В этом примере показано, как сгенерировать выборки от набора квазислучайной точки.
Используйте haltonset чтобы создать квазислучайную точку устанавливает p, затем неоднократно постепенно увеличивайтесь, индекс в точку установил test сгенерировать различные выборки.
p = haltonset(1,'Skip',1e3,'Leap',1e2); p = scramble(p,'RR2'); nTests = 1e5; sampSize = 50; PVALS = zeros(nTests,1); for test = 1:nTests x = p(test:test+(sampSize-1),:); [h,pval] = kstest(x,[x,x]); PVALS(test) = pval; end
Те же результаты получены при помощи qrandstream создать квазислучайный поток q на основе точки устанавливает p и разрешение потоку заботиться о шаге в индекс.
p = haltonset(1,'Skip',1e3,'Leap',1e2); p = scramble(p,'RR2'); q = qrandstream(p); nTests = 1e5; sampSize = 50; PVALS = zeros(nTests,1); for test = 1:nTests X = qrand(q,sampSize); [h,pval] = kstest(X,[X,X]); PVALS(test) = pval; end