Найдите экстремум многомерной функции и ее приближения

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как найти экстремум многомерной функции и ее приближения около точки экстремума. Этот пример использует переменные символьной матрицы, чтобы представлять многомерную функцию и ее производные. Переменные символьной матрицы являются доступным запуском в R2021a.

Рассмотрите многомерную функцию $f (x) = \sin (x^{T} A x)$ , где $x$ 2 1 вектор и $A$ матрица 2 на 2. Чтобы найти локальное экстремальное значение этой функции, вычислите корень производной $f (x)$ . Другими словами, найдите решение производной $\nabla f (x_{0}) = 0$ .

Создание функции и находит свою производную

Создайте вектор $x$ и матрица $A$ как переменные символьной матрицы. Задайте функцию $f (x) = \sin (x^{T} A x)$ .

syms x [2 1] matrix
syms A [2 2] matrix
f = sin(x.'*A*x)

f =  $\sin (x^{T} A x)$

Вычислите производный D из функции $f (x)$ относительно вектора $x$ . Производный D отображен в компактном матричном обозначении в терминах $x$ и $A$ .

D = diff(f,x)

D =  $\cos (x^{T} A x) (x^{T} A + x^{T} A^{T})$

Преобразуйте `symmatrix` Объекты к `sym` Объекты

Переменные x символьной матрицыAF, и D symmatrix объекты. Эти объекты представляют матрицы, векторы и скаляры в компактном матричном обозначении. Чтобы показать компоненты этих переменных, преобразуйте symmatrix объекты к sym объекты с помощью symmatrix2sym.

xsym = symmatrix2sym(x)

xsym = 
 $(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})$

Asym = symmatrix2sym(A)

Asym = 
 $(\begin{array}{c} A_{1, 1} & A_{1, 2} \\ A_{2, 1} & A_{2, 2} \end{array})$

fsym = symmatrix2sym(f)

fsym =  $(\begin{array}{c} \sin (x_{1} (A_{1, 1} x_{1} + A_{1, 2} x_{2}) + x_{2} (A_{2, 1} x_{1} + A_{2, 2} x_{2})) \end{array})$

Dsym = symmatrix2sym(D)

Dsym =  $(\begin{array}{c} \cos (x_{1} (A_{1, 1} x_{1} + A_{1, 2} x_{2}) + x_{2} (A_{2, 1} x_{1} + A_{2, 2} x_{2})) (2 A_{1, 1} x_{1} + A_{1, 2} x_{2} + A_{2, 1} x_{2}) & \cos (x_{1} (A_{1, 1} x_{1} + A_{1, 2} x_{2}) + x_{2} (A_{2, 1} x_{1} + A_{2, 2} x_{2})) (A_{1, 2} x_{1} + A_{2, 1} x_{1} + 2 A_{2, 2} x_{2}) \end{array})$

Замените числовыми значениями и найдите минимум

Предположим, что вы интересуетесь случаем где значение $A$ [2 -1; 0 3]. Замените этим значением в функциональный fsym.

fsym = subs(fsym,Asym,[2 -1; 0 3])

fsym =  $\sin (3 {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2}))$

Замените значением $A$ в производный Dsym

Dsym = subs(Dsym,Asym,[2 -1; 0 3])

Dsym =  $(\begin{array}{c} \cos (3 {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2})) (4 x_{1} - x_{2}) & - \cos (3 {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2})) (x_{1} - 6 x_{2}) \end{array})$

Затем примените символьный функциональный solve получить корень производной.

[xmin,ymin] = solve(Dsym,xsym,'PrincipalValue',true);
x0 = [xmin; ymin]

x0 = 
 $(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$

Постройте функцию $f (x)$ вместе с решением для экстремума $x_{0}$ . Установите интервал графика на $- 1 < x_{1} < 1$ и $- 1 < x_{2} < 1$ в качестве второго аргумента fsurf. Используйте fplot3 построить координаты решения для экстремума.

fsurf(fsym,[-1 1 -1 1])
hold on
fplot3(xmin,ymin,subs(fsym,xsym,x0),'ro')
view([-68 13])

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type functionsurface, parameterizedfunctionline.

Аппроксимированная функция около ее минимума

Можно аппроксимировать многомерную функцию вокруг точки $x_{0}$ с многочленом с помощью Разложения Тейлора.

$f (x) \approx f (x_{0}) + \nabla f (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + \frac{1}{2} (x - x_{0})^{T} H (f (x_{0})) (x - x_{0})$

Здесь, термин $\nabla f (x_{0})$ вектор градиента, и $H (f (x_{0}))$ матрица Гессиана многомерной функции $f (x)$ вычисленный в $x_{0}$ .

Найдите матрицу Гессиана и возвратите результат как переменную символьной матрицы.

H = diff(f,x,x.')

H =  $- \sin (x^{T} A x) (A^{T} x + A x) (x^{T} A + x^{T} A^{T}) + \cos (x^{T} A x) (A^{T} + A)$

Преобразуйте матрицу Гессиана $H (f (x_{0}))$ к sym тип данных, который представляет матрицу в ее форме компонента. Используйте subs оценивать матрицу Гессиана для $A$ = [2 -1; 0 3] в минимальной точке $x_{0}$ .

Hsym = symmatrix2sym(H);
Hsym = subs(Hsym,Asym,[2 -1; 0 3]);
H0 = subs(Hsym,xsym,x0)

H0 = 
 $(\begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array})$

Оцените вектор градиента $\nabla f (x_{0})$ в $x_{0}$ .

D0 = subs(Dsym,xsym,x0)

D0 =  $(\begin{array}{c} 0 & 0 \end{array})$

Вычислите приближение Тейлора к функции около ее минимума.

fapprox = subs(fsym,xsym,x0) + D0*(xsym-x0) + 1/2*(xsym-x0).'*H0*(xsym-x0)

fapprox = 
 $x_{1} (2 x_{1} - \frac{x_{2}}{2}) - x_{2} (\frac{x_{1}}{2} - 3 x_{2})$

Постройте приближение функций на том же графике, который показывает $f (x)$ и $x_{0}$ .

hold on
fsurf(fapprox,[-1 1 -1 1])
zlim([-1 3])

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type functionsurface, parameterizedfunctionline.

Документация

Найдите экстремум многомерной функции и ее приближения

Создание функции и находит свою производную

Преобразуйте `symmatrix` Объекты к `sym` Объекты

Замените числовыми значениями и найдите минимум

Аппроксимированная функция около ее минимума

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Документация

Найдите экстремум многомерной функции и ее приближения

Создание функции и находит свою производную

Преобразуйте symmatrix Объекты к sym Объекты

Замените числовыми значениями и найдите минимум

Аппроксимированная функция около ее минимума

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Преобразуйте `symmatrix` Объекты к `sym` Объекты