Гипергеометрическая функция
hypergeom( представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.a,b,z)
В зависимости от того, является ли вход плавающей точкой или символьный, hypergeom возвращает или символьные результаты с плавающей точкой.
Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Поскольку эти числа являются плавающей точкой, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой.
A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]A = -1.2174 - 0.8330i 1.2091 + 0.0000i -0.2028 + 0.2405i
Возвратите точные символьные результаты путем преобразования по крайней мере одних из входных параметров к символьной форме при помощи sym. Для большинства символьных (точных) входных параметров, hypergeom отвечает на неразрешенные символьные звонки.
symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]symA = [ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]
Преобразуйте символьный результат в высокую точность, с плавающей точкой при помощи vpa.
vpa(symA)
ans = [ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,... 1.2090631887094273193917339575087,... - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]
Покажите это hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.
syms a b c d x hypergeom([], [], x)
ans = exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans = exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans = 1/(1 - x)^a
Покажите, что гипергеометрической функцией всегда является 1 в 0.
syms a b c d hypergeom([a b], [c d], 0)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, получившаяся гипергеометрическая функция является постоянной со значением 1. Для получения дополнительной информации см. Алгоритмы.
hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, больше, чем самое большое отрицательное целое число в более низких параметрах, гипергеометрическая функция является полиномом.
hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans = (3*x^2)/5 - 2*x + 1
Гипергеометрические функции уменьшают до других специальных функций для определенных входных значений.
hypergeom([1], [a], x) hypergeom([a], [a, b], x)
ans = (exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2) ans = x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))
Много символьных функций, такой как diff и taylor, обработайте выражения, содержащие hypergeom.
Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.
syms a b c d x diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans = (a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)... - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2
Вычислите Ряд Тейлора этой гипергеометрической функции.
taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans = (2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1
Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:
Сходится если p ≤ q и |z | < ∞.
Сходится если p = q + 1 и |z | < 1. Для |z | > = 1, ряд отличается и задан аналитическим продолжением.
Отличается если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь, ряд задан асимптотическим расширением p F q (a; b;) вокруг z = 0. Разрез является положительной вещественной осью.
Функция является полиномом, названным гипергеометрическим полиномом, если какой-либо aj является неположительным целым числом.
Функция не определена:
Если какой-либо bk является неположительным целым числом, таким образом, что bk > aj, где aj является также неположительным целым числом, потому что деление 0 происходит
Если какой-либо bk является неположительным целым числом, и никакой aj не является неположительным целым числом
Функция уменьшала порядок, когда верхние и более низкие значения параметров равны и отменяют. Если значения r верхних и более низких параметров равны (то есть, a = [a 1, …, a p - r, c 1, …, c r], b = [b 1, …, b q - r, c 1, …, c r]), то порядок (p, q) p F q (a; b;), уменьшается до (p - r, q - r):
Это правило применяется, даже если какой-либо i c является нулем или отрицательным целым числом [2].
p F q (a; b;), симметрично. Таким образом, это не зависит от порядка a 1, a 2, … в a или b 1, b 2, … в b.
удовлетворяет дифференциальному уравнению в z
Здесь, (δ + a) представляет
И (δ + b) представляет
Таким образом порядком этого дифференциального уравнения является max (p, q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из своих решений. Если p < q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность в z = 0 и неправильную сингулярность в z = ∞. Если p = q + 1, точки, z = 0, z = 1, и z = ∞ является регулярной сингулярностью, который объясняет свойства сходимости гипергеометрического ряда.
Гипергеометрическая функция имеет эти специальные значения:
p F p (a; a;) = 0F0 (;; z) = ez.
p F q (a; b;) = 1, если список верхних параметров a содержит больше 0s, чем список более низких параметров b.
p F q (a; b; = 1.
[1] Oberhettinger, F. “Гипергеометрические функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
[2] Люк, Y.L. "Специальные функции и их приближения", издание 1, Academic Press, Нью-Йорк, 1969.
[3] Прудников, A.P., Yu.A. Брычков и О.И. Маричев, "Интегралы и ряд", издание 3: более специальные функции, Гордон и нарушение, 1990.
kummerU | meijerG | whittakerM | whittakerW