taylor

Ряд Тейлора

свернуть все на странице

Синтаксис

T = taylor(f,var)
T = taylor(f,var,a)
T = taylor(___,Name,Value)

Описание

пример

T = taylor(f,var) аппроксимирует f с расширением Ряда Тейлора f до пятого порядка в точке var = 0. Если вы не задаете varто taylor использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).

пример

T = taylor(f,var,a) аппроксимирует f с расширением Ряда Тейлора f в точке var = a.

пример

T = taylor(___,Name,Value) дополнительные опции использования заданы одним или несколькими Name,Value парные аргументы. Можно задать Name,Value после входных параметров в любом из предыдущих синтаксисов.

Примеры

свернуть все

Найдите расширения серии Maclaurin экспоненциала, синуса и косинусных функций до пятого порядка.

syms x
T1 = taylor(exp(x))
T2 = taylor(sin(x))
T3 = taylor(cos(x))
T1 = 
x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

T2 = 
x^5/120 - x^3/6 + x

T3 = 
x^4/24 - x^2/2 + 1

Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьных полиномов. Вновь отобразите полиномы в порядке возрастания.

sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T1
T2
T3
T1 =
1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120
 
T2 =
x - x^3/6 + x^5/120
 
T3 =
1 - x^2/2 + x^4/24

Формат отображения вы устанавливаете использование sympref сохраняется через ваши текущие и будущие сеансы MATLAB®. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.

sympref('default');

Найдите расширения Ряда Тейлора в x = 1 для этих функций. Точка расширения по умолчанию 0. Чтобы задать различную точку расширения, используйте ExpansionPoint:

syms x
T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
T = 
x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1

В качестве альтернативы задайте точку расширения в качестве третьего аргумента taylor:

T = taylor(acot(x), x, 1)
T = 
pi/4 - x/2 + (x - 1)^2/4 - (x - 1)^3/12 + (x - 1)^5/40 + 1/2
Скрипт Open Live Script

Найдите расширение серии Maclaurin для f = sin(x)/x. Порядок усечения по умолчанию равняется 6. Приближение ряда Тейлора этого выражения не имеет термина пятой степени, таким образом, taylor аппроксимирует это выражение полиномом четвертой степени:

syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f, x);

Используйте Order управлять порядком усечения. Например, аппроксимируйте то же выражение до порядков 8 и 10:

T8 = taylor(f, x, 'Order', 8);
T10 = taylor(f, x, 'Order', 10);

Постройте исходное выражение f и его приближения T6, T8, и T10. Отметьте, как точность приближения зависит от порядка усечения.

fplot([T6 T8 T10 f])
xlim([-4 4])
grid on

legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',...
       'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',...
       'sin(x)/x','Location','Best')
title('Taylor Series Expansion')

Figure contains an axes. The axes with title Taylor Series Expansion contains 4 objects of type functionline. These objects represent approximation of sin(x)/x up to O(x^6), approximation of sin(x)/x up to O(x^8), approximation of sin(x)/x up to O(x^{10}), sin(x)/x.

Найдите расширение Ряда Тейлора этого выражения. По умолчанию, taylor использует абсолютную команду, которая является порядком усечения вычисленного ряда.

T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
T = 
-x^3/3

Найдите расширение Ряда Тейлора с относительным порядком усечения при помощи OrderMode. Для некоторых выражений относительный порядок усечения обеспечивает более точные приближения.

T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
T = 
- x^7/2520 - x^5/60 - x^3/3

Найдите расширение серии Maclaurin этого многомерного выражения. Если вы не задаете вектор из переменных, taylor обработки f в зависимости от одной независимой переменной.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f)
T = 
x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)

Найдите многомерное расширение Maclaurin путем определения вектора из переменных.

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f, [x, y, z])
T =
x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2

Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьного полинома. Вновь отобразите полином в порядке возрастания.

sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T
T =
2 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 - y^2/2 + y^4/24 + x - x^3/6 + x^5/120

Формат отображения вы устанавливаете использование sympref сохраняется через ваши текущие и будущие сеансы работы с MATLAB. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.

sympref('default');

Найдите многомерное Разложение Тейлора путем определения и вектора из переменных и вектора из значений, задающих точку расширения:

syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
T = 
x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2

Если вы указываете, что расширение указывает как скалярный a, taylor преобразовывает тот скаляр в вектор из той же длины как вектор из переменных. Все элементы вектора расширения равняются a:

T = taylor(f, [x, y], 1, 'Order', 3)
T = 
x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2

Входные параметры

свернуть все

Введите, чтобы аппроксимировать в виде символьного выражения или функции. Это также может быть вектор, матрица или многомерный массив символьных выражений или функций.

Переменная Expansion в виде символьной переменной. Если вы не задаете varто taylor использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).

Точка расширения в виде номера, или символьное число, переменная, функция или выражение. Точка расширения не может зависеть от переменной расширения. Также можно задать точку расширения как Name,Value парный аргумент. Если вы указываете, что расширение указывает оба пути, то Name,Value парный аргумент более приоритетен.

Аргументы в виде пар имя-значение

Задайте дополнительные разделенные запятой пары Name,Value аргументы. Name имя аргумента и Value соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример: taylor(log(x),x,'ExpansionPoint',1,'Order',9)

Точка расширения в виде номера, или символьное число, переменная, функция или выражение. Точка расширения не может зависеть от переменной расширения. Можно также задать точку расширения с помощью входного параметра a. Если вы указываете, что расширение указывает оба пути, то Name,Value парный аргумент более приоритетен.

Порядок усечения расширения Ряда Тейлора в виде положительного целого числа или символьного положительного целого числа. taylor вычисляет приближение Ряда Тейлора с порядком n - 1. Порядок усечения n экспонента в O - термин: O (var n).

Закажите индикатор режима в виде 'absolute' или 'relative'. Этот индикатор задает, хотите ли вы использовать абсолютный или относительный порядок при вычислении полиномиального приближения Тейлора.

Absolute order является порядком усечения вычисленного ряда. Relative order n средние значения, что экспоненты var в вычисленном ряду лежат в диапазоне от ведущего порядка m к самой высокой экспоненте m + n - 1. Здесь m + n экспонента var в O - термин: O (var m + n).

Больше о

свернуть все

Расширение ряда Тейлора

Расширение ряда Тейлора представляет аналитическую функцию f (x), когда бесконечная сумма условий вокруг расширения указывает x = a:

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+…=∑m=0∞f(m)(a)m!⋅(x−a)m

Расширение ряда Тейлора требует, чтобы функция имела производные до бесконечного порядка вокруг точки расширения.

Последовательное расширение Maclaurin

Расширение ряда Тейлора вокруг x = 0 называется расширением серии Maclaurin:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f″(0)2!x2+…=∑m=0∞f(m)(0)m!xm

Советы

  • Если вы используете обоих третий аргумент a и ExpansionPoint задавать точку расширения, значение, заданное через ExpansionPoint преобладает.

  • Если var вектор, затем точка расширения a должен быть скаляр или вектор из той же длины как var. Если var вектор и a скаляр, затем a расширен в вектор из той же длины как var со всеми элементами равняются a.

  • Если точка расширения является бесконечностью или отрицательной бесконечностью, то taylor вычисляет расширение Ряда Лорана, которое является степенным рядом в 1/var.

  • Можно использовать sympref функция, чтобы изменить выходной порядок символьных полиномов.

Смотрите также

| | | | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте