Вейвлет Synchrosqueezing

Что такое Вейвлет Synchrosqueezing?

Вейвлет synchrosqueezed преобразовывает, метод частотно-временного анализа, который полезен для анализа многокомпонентных сигналов с колеблющимися режимами. Примеры сигналов с колеблющимися режимами включают речевые формы волны, колебания машины и физиологические сигналы. Многие из этих реальных сигналов с колеблющимися режимами могут быть записаны как сумма модулируемых амплитудой и модулируемых частотой компонентов. Общее выражение для этих типов сигналов с суммированными компонентами

$\sum_{k = 1}^{K} A_{k} (t) \cos (2 π ϕ_{k} (t)),$

где $A_{k} (t)$ медленно различная амплитуда и $ϕ_{k} (t)$ мгновенная фаза. Усеченный ряд Фурье, где амплитуда и частота не меняются в зависимости от времени, является особым случаем этих сигналов.

Вейвлет преобразовывает, и другие линейные методы частотно-временного анализа разлагают эти сигналы на свои компоненты путем корреляции сигнала со словарем атомов частоты времени [1]. Вейвлет преобразовывает использование переведенные и масштабированные версии родительского вейвлета как его атом частоты времени. Некоторое распространение частоты времени сопоставлено со всеми этими атомами частоты времени, которые влияют на резкость анализа сигнала.

Вейвлет synchrosqueezed преобразовывает, метод частоты времени, который повторно присваивает энергию сигнала в частоте. Это переназначение компенсирует распространяющиеся эффекты, вызванные родительским вейвлетом. В отличие от других методов переназначения частоты времени, synchrosqueezing повторно присваивает энергию только в направлении частоты, которое сохраняет разрешение времени сигнала. Путем сохранения времени инверсия synchrosqueezing алгоритм может восстановить точное представление исходного сигнала. Чтобы использовать synchrosqueezing, каждый термин в суммированных компонентах сигнализирует, что выражение должно быть функцией внутреннего типа режима (IMT). Для получения дополнительной информации на критериях, которые составляют IMTs, см. [2].

Алгоритм

synchrosqueezing алгоритм использует эти шаги.

Получите CWT входного сигнала. Для использования с synchrosqueezing CWT должен использовать аналитический вейвлет, чтобы получить мгновенную информацию о частоте.
Извлеките мгновенные частоты из CWT выход, $W_{f}$ , использование фазы преобразовывает, $ω_{f}$ . Эта фаза преобразовывает, пропорционально первой производной CWT относительно перевода, u. В этом определении фазы преобразовывают, s является шкалой.

$ω_{f} (s, u) = \frac{\partial t W_{f} (s, u)}{2 π i W_{f} (s, u)} .$
Шкалы заданы как $s = \frac{f_{χ}}{f}$ , где $f_{χ}$ пиковая частота, и f является частотой.
Чтобы извлечь мгновенную частоту, рассмотрите простую синусоиду, $e^{i 2 π f_{0} t}$ .
1. Получите вейвлет, преобразовывают,
  
  $W_{f} (e^{i 2 π f_{0} t}) = e^{i 2 π f_{0} u},$
  где $\hat{χ} (s f_{0})$ преобразование Фурье вейвлета в _sf0.
2. Возьмите частную производную предыдущего уравнения относительно перевода, u:
  
  $\frac{\partial}{\partial u} W_{f} (e^{i 2 π f_{0} t}) = i 2 π f_{0} \hat{χ} (f_{χ}) e^{i 2 π f_{0} u}$
3. Разделитесь частная производная вейвлетом преобразовывают и $i 2 π$ получить мгновенную частоту, _f0.
“Сожмите” CWT по областям, где фаза преобразовывает, является постоянным. Получившееся мгновенное значение частоты повторно присвоено одному значению в центроиде области частоты времени CWT. Это переназначение результаты в увеличенном резкость выходе от synchrosqueezed преобразовывает когда по сравнению с CWT.

Аналогичный описанному, synchrosqueezing использует непрерывный вейвлет преобразовывает (CWT) и его первую производную относительно перевода. CWT является обратимым и поскольку synchrosqueezed преобразовывают, наследовал свойство обратимости CWT, сигнал может быть восстановлен.

Необходимое разделение компонента

С synchrosqueezing компоненты сигнала должны быть IMTs, которые хорошо разделяются в плоскости частоты времени. Если это требование удовлетворяется, можно отследить траекторию мгновенных частот вдоль кривой. Кривые показывают местоположение максимальной энергии, когда это варьируется в зависимости от времени для каждого режима сигнала. Смотрите wsstridge поскольку описание траектории изгибает алгоритм.

Это неравенство задает необходимые разделительные критерии:

$| ϕ_{k}^{'} (t) - ϕ_{k - 1}^{'} (t) | \geq \frac{1}{4} | ϕ_{k}^{'} (t) + ϕ_{k - 1}^{'} (t) |$

где $ϕ^{'}$ мгновенная частота, и d является положительным разделением, постоянным [2]. Чтобы определить это необходимое разделение, предположите, что вейвлет удара, x, имеет преобразование Фурье с поддержкой в области значений $[ε_{x} - Δ, ε_{x} + Δ]$ . Поскольку вейвлет удара имеет центральную частоту $\frac{5}{2 π}$ Гц, использовать $[\frac{5}{2} π - \frac{1}{2}, \frac{5}{2} π + \frac{1}{2}]$ как интервал. Затем решите $Δ < ε_{x} \frac{d}{1 + d}$ для d, чтобы добраться $d > \frac{1}{4}$ для вейвлета удара.

Чтобы показать это разделительное требование для вейвлета удара, считайте сигнал состоявшим из $\cos (2 π (0.1 t)) + \sin ((2 π (0.2 t))$ . Используя вейвлет удара, чтобы получить CWT, мгновенная фаза косинуса $ϕ_{1} (t) = 0.1 t$ , и мгновенная частота является первой производной, 0.1. Аналогично, для компонента синуса, мгновенная частота 0.2. Разделительное неравенство, $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.3 |$ , верно. Поэтому два компонента сигнала являются функциями IMT и разделяются достаточно, чтобы использовать synchrosqueezed, преобразовывают.

Если вы используете более высокие частоты, такой как 0,3 и 0.4 для мгновенных частот, неравенство $| 0.1 | \geq \frac{1}{4} | 0.7 |$ , который не верен. Поскольку эти компоненты сигнала не хорошо разделяются IMTs сигнал, $\cos (2 π (0.3 t)) + \sin ((2 π (0.4 t))$ , не подходит для использования с synchrosqueezed, преобразовывают.

Примеры

CWT по сравнению с Synchrosqueezed преобразовывает смазывание

Скрипт Open Live Script

Сравнение CWT с synchrosqueezed преобразованием квадратичного щебета показывает, что уменьшаемое энергетическое смазывание для synchrosqueezed преобразовывает результат.

load quadchirp;
Fs = 1000;
[wt,f] = cwt(quadchirp,'bump',Fs);
subplot(2,1,1)
hp = pcolor(tquad,f,abs(wt));
hp.EdgeColor = 'none';
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Frequency (Hz)')
title('CWT of Quadratic Chirp')
subplot(2,1,2)
wsst(quadchirp,Fs,'bump')

Figure contains 2 axes. Axes 1 with title CWT of Quadratic Chirp contains an object of type surface. Axes 2 with title Wavelet Synchrosqueezed Transform contains an object of type surface.

Низкочастотный по сравнению с высокочастотным разделением компонента

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, что разделение, необходимое между компонентами сигнала, чтобы получить применимые результаты synchrosqueezed, преобразовывает. Компоненты сигнала 0.025, 0.05, 0.20, и 0,225 цикла на выборку. Высокочастотные компоненты, 0.20 и 0.225, не имеют достаточного разделения, таким образом, вы не можете выразить целого сигнала как суммы хорошо разделенного IMTs.

Задайте сигнал и постройте synchrosqueezed компоненты.

t = 0:2000;
x1 = cos(2*pi*.025*t);
x2 = cos(2*pi*.05*t);
x3 = cos(2*pi*.20*t);
x4 = cos(2*pi*.225*t);
x =x1+x2+x3+x4;
[sst,f] = wsst(x);
contour(t,f,abs(sst))
xlabel('Time')
ylabel('Normalized Frequency')
title('Inadequate High-Frequency Separation')

Figure contains an axes. The axes with title Inadequate High-Frequency Separation contains an object of type contour.

Увеличьте разделение высокочастотных компонентов, и затем постройте synchrosqueezed компоненты снова.

x4 = cos(2*pi*.3*t);
x =x1+x2+x3+x4;
[sst,f] = wsst(x);
figure
contour(t,f,abs(sst))
xlabel('Time')
ylabel('Normalized Frequency')
title('Adequate High-Frequency Separation')

Figure contains an axes. The axes with title Adequate High-Frequency Separation contains an object of type contour.

Все компоненты сигнала теперь хорошо разделяются IMTs и разделяются достаточно, чтобы различать друг от друга. Этот сигнал подходит для использования с synchrosqueezing алгоритмом.

Область с несоответствующим разделением

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает сигнал с двумя линейными щебетами. Линейный щебет задан как

$f (t) = \cos (ϕ + 2 π (f_{0} t + \frac{m t^{2}}{2})) .$

Его первая производная, $f_{0} + m t$ , задает мгновенную линию частоты. Используйте вейвлет удара и его разделение, постоянное из 0,25. Чтобы определить область, где два сигнала щебета с мгновенными частотами 0,4 и 0,1 циклов на выборку не разделяются достаточно, решите это уравнение:

$| y_{1} - y_{2} | = 0.25 | y_{1} + y_{2} | .$

$y_{1} = \frac{- 0.15}{1000} x + 0.4$ и $y_{2} = \frac{0.15}{1000} x + 0.1$ мгновенные линии частоты щебетов.

t = 0:2000;
y1 = chirp(t,0.4,1000,0.25);
y2 = chirp(t,0.1,1000,0.25);
y = y1+y2;
wsst(y,'bump')
xlabel('Samples')
h1 = line([583 583], [0 0.5]);
h2 = line([1417 1417], [0 0.5]);
h1.Color='white';
h2.Color='white';

Figure contains an axes. The axes with title Wavelet Synchrosqueezed Transform contains 3 objects of type surface, line.

Вертикальные линии являются границами области. Они указывают, что недостаточно разделения происходит в демонстрационных 583 и демонстрационных 1417. В области между вертикальными линиями сигнал не состоит из хорошо разделенного IMTs. В областях вне вертикальных линий сигнал хорошо разделил IMTs. Можно получить хорошие результаты synchrosqueezed, преобразовывают в эти области.

Ссылки

[1] Молоток, S. Тур Вейвлета по Обработке сигналов. Сан-Диего, CA: Academic Press, 2008, p. 89.

[2] Daubechies, я., Дж. Лу и Х. Т. Ву. "Преобразования Вейвлета Synchrosqueezed: подобный эмпирическому разложению моды инструмент". Примененный и Вычислительный Гармонический Анализ. Издание 30 (2), стр 243–261.

[3] Thakur, G., Э. Бревдо, N. S. Fučkar и Х. Т. Ву. "synchrosqueezing алгоритм для изменяющегося во времени спектрального анализа: свойства робастности и новые приложения палеоклимата". Обработка сигналов. Издание 93, стр 1079–1094.

Документация