Подъем метода для построения вейвлетов

Так называемые вейвлеты первого поколения и масштабирующиеся функции являются двухместными расширениями, и переводит одной функции. Методы Фурье играют ключевую роль в проекте этих вейвлетов. Однако требование, чтобы базис вейвлета состоял из, переводит и расширяет одной функции, налагает некоторые ограничения, которые ограничивают утилиту идеи мультиразрешения в ядре анализа вейвлета.

Утилита методов вейвлета расширена проектом вейвлетов второго поколения через подъем.

Типичные настройки, где перевод и расширение одной функции не могут использоваться, включают:

При разработке вейвлетов на ограниченных областях — Это включает конструкцию вейвлетов через определенный интервал или ограниченную область в более многомерном Евклидово пространстве.
Необходимы взвешенные вейвлеты — В определенных приложениях, таких как решение дифференциальных уравнений с частными производными, вейвлеты, биоортогональные относительно взвешенного скалярного произведения.
Нерегулярно распределенные данные — Во многих реальных приложениях, интервал выборки между выборками данных не равен.

Разработка новых вейвлетов первого поколения требует экспертных знаний в анализе Фурье. Поднимающийся метод, предложенный Sweldens (см. [Swe98] в Ссылках), удаляет необходимость экспертных знаний в анализе Фурье и позволяет вам генерировать бесконечное число дискретных биоортогональных вейвлетов, начинающих с начального. В дополнение к генерации вейвлетов первого поколения с подъемом поднимающийся метод также позволяет вам спроектировать вейвлеты второго поколения, которые не могут быть созданными с использованием основанными на Фурье методами. С подъемом можно спроектировать вейвлеты, которые обращаются к недостаткам вейвлетов первого поколения.

Для получения дополнительной информации о подъеме см. [Swe98], [Mal98], [StrN96] и [MisMOP03] в Ссылках.

Подъем фона

Скрипт Open Live Script

DWT, реализованный набором фильтров, задан четырьмя фильтрами как описано в Алгоритме Быстрого преобразования вейвлета (FWT). Два основных свойства интереса

Совершенное свойство реконструкции
Ссылка с “истинными” вейвлетами (как сгенерировать, начинающий с фильтров, ортогональных или биоортогональных базисов пробела функций конечной энергии),

Чтобы проиллюстрировать совершенное свойство реконструкции, следующий набор фильтров содержит два фильтра разложения и два фильтра синтеза. Фильтры разложения и синтеза могут составить пару биоортогональных базисов или ортогонального базиса. Прописные буквы обозначают Z-преобразования фильтров.

Это приводит к следующим двум условиям для набора фильтров совершенной реконструкции (PR):

$H_{}^{\sim} (z) H (z) + G_{}^{\sim} (z) G (z) = 2 z^{- L + 1}$

$H_{}^{\sim} (- z) H (z) + G_{}^{\sim} (- z) G (z) = 0$

Первое условие обычно (неправильно) называется совершенным условием реконструкции, и вторым является сглаживающееся условие.

$z^{- L + 1}$ термин подразумевает, что совершенная реконструкция достигается до задержки одной выборки меньше, чем длина фильтра, L. Это заканчивается, если аналитические фильтры смещены, чтобы быть причинными.

При подъеме проектов совершенные наборы фильтров реконструкции путем начала с основного характера вейвлета преобразовывают. Вейвлет преобразовывает сборку разреженные представления путем использования корреляции, свойственной от большинства данных о реальном мире. Например, постройте пример потребления электричества за 3-дневный период.

load leleccum
plot(leleccum)
grid on
axis tight
title('Electricity Consumption')

Figure contains an axes. The axes with title Electricity Consumption contains an object of type line.

Многофазное представление

Многофазное представление сигнала является важной концепцией в подъеме. Можно просмотреть каждый сигнал как состоящий из фаз, которые состоят из взятия каждого N-th выборка, начинающаяся с некоторого индекса. Например, если вы индексируете временные ряды от n =0 и берете любой демонстрационный запуск в n =0, вы извлекаете ровные выборки. Если вы берете любой демонстрационный запуск с n =1, вы извлекаете нечетные выборки. Это четные и нечетные многофазные компоненты данных. Поскольку ваш шаг между выборками равняется 2, существует только две фазы. Если вы увеличили свой шаг до 4, можно извлечь 4 фазы. Для подъема достаточно сконцентрироваться на четных и нечетных многофазных компонентах. Следующая схема иллюстрирует эту операцию для входного сигнала.

где Z обозначает модульный оператор усовершенствования, и направленная вниз стрелка с номером 2 представляет субдискретизацию два. На языке подъема операция разделения входного сигнала на четные и нечетные компоненты известна как операцию разделения или ленивый вейвлет.

Чтобы изучить подъем математически, необходимо изучить представление z-области четных и нечетных многофазных компонентов.

Z-преобразование ровного многофазного компонента

$X_{0} (z) = \sum_{n} x (2 n) z^{- n}$

Z-преобразование нечетного многофазного компонента

$X_{1} (z) = \sum_{n} x (2 n + 1) z^{- n}$

Можно записать z-преобразование входного сигнала как сумма расширенных версий z-преобразований многофазных компонентов.

$X (z) = \sum_{n} x (2 n) z^{- 2 n} + \sum_{n} x (2 n + 1) z^{- 2 n + 1} = X_{0} (z^{2}) + z^{- 1} X_{1} (z^{2})$

Разделите, предскажите, и обновление

Один поднимающийся шаг может быть описан следующими тремя основными операциями:

Разделите — сигнал на непересекающиеся компоненты. Распространенный способ сделать это должно извлечь четные и нечетные многофазные компоненты, объясненные в Многофазном Представлении. Это также известно как ленивый вейвлет.
Предскажите — нечетное многофазное компонентно-ориентированное на линейной комбинации выборок ровного многофазного компонента. Выборки нечетного многофазного компонента заменяются различием между нечетным многофазным компонентом и ожидаемым значением.
Обновление — даже многофазный компонентно-ориентированный на линейной комбинации выборок различия, полученных из предсказать шага.

На практике нормализация включена для обоих операции предсказывания и обновления.

Следующая схема иллюстрирует один поднимающийся шаг.

Вейвлет Хаара через подъем

Скрипт Open Live Script

Используя операции в Разделении, Предскажите, и Обновление, можно реализовать вейвлет Хаара через подъем.

Разделите — Делят сигнал на четные и нечетные многофазные компоненты
Предскажите — замена $x (2 n + 1)$ с $d (n) = x (2 n + 1) - x (2 n)$ . Предсказать оператор просто $x (2 n)$ .
Обновление — замена $x (2 n)$ с $x (2 n) + d (n) / 2$ . Это равно $(x (2 n) + x (2 n + 1)) / 2$ .

Предсказать оператор в Z-области может быть написан в следующей матричной форме:

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z) & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

с $P (z) = 1$ .

Оператор обновления может быть написан в следующей матричной форме:

$[\begin{array}{c} 1 & S (z) \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z) & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

с $S (z) = 1 / 2$ .

Наконец, обновление и предсказывает, что нормализация может быть включена можно следующим образом:

$[\begin{array}{c} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & S (z) \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - P (z) & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

Можно использовать liftingScheme создать поднимающуюся схему, сопоставленную с вейвлетом Хаара.

lscHaar = liftingScheme('Wavelet','haar');
disp(lscHaar)

 	 Wavelet              : 'haar' 
 	 LiftingSteps         : [2 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [1.4142 0.7071] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'predict'
    Coefficients: -1
        MaxOrder: 0

            Type: 'update'
    Coefficients: 0.5000
        MaxOrder: 0

Обратите внимание на то, что для удобства, знак минус включен в predict подъем шага. Элементы NormalizationFactors, 1.4142 и 0.7071, предсказывание и обновляет коэффициенты нормализации, соответственно. MaxOrder дает самую высокую степень полинома Лорана, который описывает соответствующий поднимающийся шаг. В этом случае оба - нуль, потому что предсказывание и обновление подъемы оба описаны скалярами.

Вейвлет Bior2.2 через подъем

Скрипт Open Live Script

Этот пример представляет поднимающуюся схему bior2.2 биоортогональное масштабирование и фильтры вейвлета.

В Хааре, снимающем схему, предсказать оператор differenced четные и нечетные выборки. В этом примере задайте новое, предсказывают оператор, который вычисляет среднее значение двух, соседних даже выборки. Вычтите среднее значение из прошедшей нечетной выборки.

$d (n) = x (2 n + 1) - \frac{1}{2} [x (2 n) + x (2 n + 2)]$

В Z-области можно записать предсказать оператор как

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} (1 - z) & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

Чтобы получить оператор обновления, исследуйте оператор обновления в Вейвлете Хаара Через Подъем. Обновление задано таким способом, которым сумма коэффициентов приближения пропорциональна среднему значению вектора входных данных.

$\sum_{n} x (n) = \frac{1}{2} \sum_{n} a (n)$

Чтобы получить тот же результат на этом поднимающемся шаге, задайте обновление как

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} (z^{- 1} + 1) \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} (1 + z) & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} X_{0} (z) \\ X_{1} (z) \end{array}]$

Можно использовать liftingScheme получить поднимающуюся схему.

lscBior = liftingScheme('Wavelet','bior2.2');
disp(lscBior)

 	 Wavelet              : 'bior2.2' 
 	 LiftingSteps         : [2 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [1.4142 0.7071] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'predict'
    Coefficients: [-0.5000 -0.5000]
        MaxOrder: 1

            Type: 'update'
    Coefficients: [0.2500 0.2500]
        MaxOrder: 0

Добавьте подъем шага в схему подъема Хаара

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как добавить элементарный поднимающийся шаг в поднимающуюся схему.

Создайте поднимающуюся схему, сопоставленную с вейвлетом Хаара.

lsc = liftingScheme('Wavelet','haar');
disp(lsc)

 	 Wavelet              : 'haar' 
 	 LiftingSteps         : [2 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [1.4142 0.7071] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'predict'
    Coefficients: -1
        MaxOrder: 0

            Type: 'update'
    Coefficients: 0.5000
        MaxOrder: 0

Создайте update элементарный поднимающийся шаг. Добавьте шаг к поднимающейся схеме.

els = liftingStep('Type','update','Coefficients',[-1/8 1/8],'MaxOrder',0);
lscNew = addlift(lsc,els);
disp(lscNew)

 	 Wavelet              : 'custom' 
 	 LiftingSteps         : [3 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [1.4142 0.7071] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'predict'
    Coefficients: -1
        MaxOrder: 0

            Type: 'update'
    Coefficients: 0.5000
        MaxOrder: 0

            Type: 'update'
    Coefficients: [-0.1250 0.1250]
        MaxOrder: 0

Получите фильтры разложения и реконструкции из новой поднимающейся схемы.

[lod,hid,lor,hir] = ls2filt(lscNew);

Используйте bswfun к графику получившаяся функция масштабирования и фильтр.

bswfun(lod,hid,lor,hir,'plot');

Figure contains 4 axes. Axes 1 with title Analysis scaling function (phiA) contains an object of type line. Axes 2 with title Analysis wavelet function (psiA) contains an object of type line. Axes 3 with title Synthesis scaling function (phiS) contains an object of type line. Axes 4 with title Synthesis wavelet function (psiS) contains an object of type line.

Вейвлет от целого числа к целому числу преобразовывает

Скрипт Open Live Script

В нескольких приложениях желательно иметь вейвлет, преобразовывают, который сопоставляет целочисленные входные параметры с целочисленным масштабированием и коэффициентами вейвлета. Можно выполнить легко подъем использования.

Создайте поднимающуюся схему, сопоставленную с вейвлетом Хаара. Добавьте элементарный поднимающийся шаг в поднимающуюся схему.

lsc = liftingScheme('Wavelet','haar');
els = liftingStep('Type','update','Coefficients',[-1/8 1/8],'MaxOrder',0);
lscNew = lsc.addlift(els);

Создайте сигнал с целочисленным знаком. Получите преобразование вейвлета от целого числа к целому числу сигнала от LWT, с помощью поднимающейся схемы, с 'Int2Int' установите на true.

rng default
sig = randi(20,16,1);
[ca,cd] = lwt(sig,'LiftingScheme',lscNew,'Int2Int',true);

Подтвердите, что коэффициенты приближения являются всеми целыми числами.

max(abs(ca-floor(ca)))

ans = 0

Подтвердите, что коэффициенты детали являются всеми целыми числами.

len = length(cd);
for k=1:len
    disp([k, max(abs(cd{k}-floor(cd{k})))]);
end

Инвертируйте преобразование и продемонстрируйте совершенную реконструкцию.

xrec = ilwt(ca,cd,'LiftingScheme',lscNew,'Int2Int',true);
max(abs(xrec-sig))

ans = 0

Документация