Кривая Коха

Берут линию единичной длины, снимают среднюю треть и заменяют ее двумя линиями такой же длины, как снятая. Эти две линии и удалённый сегмент должны составлять равносторонний треугольник. Это первая итерация. Та же процедура повторяется со всеми строками для следующих итераций. Каждый меньший сегмент является точной копией всей кривой. Каждая итерация добавляет длину к общей кривой, в результате чего общая длина (4/3) ^ n умножается на исходную длину, где n - число итераций.

Дипольная антенна Fractal Koch Vs

Создайте диполь длиной 60 мм и постройте график полного сопротивления в диапазоне частот 0,5 GHz-5 ГГц.

d = dipole('Length',60e-3,'Width',1e-3);
figure;impedance(d,(0.5:0.05:5)*1e9);

Резонансная частота дипольной антенны составляет 2,35 ГГц.

Создайте фрактальный дипол кох. По умолчанию длина равна 60 мм, а число итераций равно двум.

k = fractalKoch;
figure;show(k);

Вычислите импеданс в диапазоне частот 0,5 GHz-5 ГГц.

zk1 = impedance(k,(0.5:0.05:5)*1e9);

Увеличьте число итераций до четырех и рассчитайте импеданс. Постройте график импеданса для второй и четвертой итераций.

k.NumIterations = 4;
k.Width = 0.5*k.Width;
zk2 = impedance(k,(0.5:0.05:5)*1e9);
figure;plot((0.5:0.05:5)*1e9,real(zk1),'b',(0.5:0.05:5)*1e9,imag(zk1),'r');grid on;
hold on;plot((0.5:0.05:5)*1e9,real(zk2),'-.g',(0.5:0.05:5)*1e9,imag(zk2),'-.k');
legend('RIteration2','XIteration2','RIteration4','XIteration4');

В легенде «R» представляет кривую сопротивления, а «X» - кривую реактивного сопротивления.

Табуляция резонансных частот, электрических длин диполя, фрактального коха со второй и четвертой итерацией.

Iteration = [0;2;4]; % Zeroth iteration corresponds to dipole antenna.
ResonantFrequencies_GHz = {'2.35';'0.87,1.54, 2.5, 3.04, 4.04, 4.53';'0.7, 1.25, 2.05, 2.5, 3.25,3.7,4.5'};
PhysicalLength = [60e-3;60e-3;60e-3];
ElectricalLength = [60e-3; 106.7e-3; 189.6e-3];
table(Iteration,ResonantFrequencies_GHz,PhysicalLength,ElectricalLength)

ans =

  3x4 table

    Iteration           ResonantFrequencies_GHz            PhysicalLength    ElectricalLength
    _________    ______________________________________    ______________    ________________

        0        {'2.35'                              }         0.06                0.06     
        2        {'0.87,1.54, 2.5, 3.04, 4.04, 4.53'  }         0.06              0.1067     
        4        {'0.7, 1.25, 2.05, 2.5, 3.25,3.7,4.5'}         0.06              0.1896     

При числе итераций, равном двум, антенна резонирует на шести частотах, где первая резонансная частота составляет 0,87 ГГц при электрической длине коч 106,7 мм. Первая резонансная частота сдвигается влево по сравнению с резонансной частотой дипольной антенны. Это помогает нам создать кох дипол физической длины меньше длины диполя. При числе итераций, равном четырем, антенна резонирует на восьми частотах, где первая резонансная частота равна 0,7 ГГц. При увеличении числа итераций происходит увеличение числа резонирующих частот и сдвиг влево в резонирующих частотах. Полная длина кривой составляет 189,6 мм ((4/3) ^n* (k. Длина), n = 4).

Создайте двухполюсную антенну кох из четырех итераций с физической длиной 19 мм, которая составляет электрическую длину 60 мм ((4/3) ^ 4 * 19e-3 = 60e-3). И построить график импеданса в диапазоне частот 0,5 ГГц - 5 ГГц.

antK = fractalKoch('Length',19e-3);
figure;impedance(antK,(1.5:0.05:5.5)*1e9);

График импеданса показывает, что дипольная антенна koch резонирует на частоте 2,75 ГГц, которая ближе к резонансной частоте дипольной антенны. Но физическая длина диполя кох составляет 19 мм, где длина диполя составляет 60 мм. Так, размер антенны уменьшен на 68 процентов. Миниатюризация - одно из преимуществ фракталов.

Цикл Коха фрактала Vs LoopCircular

Создайте антенну кругового контура, которая резонирует на частоте 1 ГГц.

antL = design(loopCircular,1e9);
figure;show(antL);

Сконструировать фрактальную петлевую антенну, которая резонирует на частоте 1 ГГц. Петлевая антенна Коха построена с использованием кривой Коха.

antkL = design(fractalKoch('Type','loop'),1e9);
figure;show(antkL);

Радиус антенны кругового контура - 52,1 мм. Периметр - 327,2 мм. Радиус окружности, ограничивающей петлю коха стороны 74 мм, равен sqrt (3) * 74e-3, что равно 42,8 мм. Это значение меньше радиуса антенны кругового контура для того же резонансного частотного 1GHz. Периметр с двумя итерациями петли коха составляет 395,4 мм (3 * sqrt (3) * (4/3) ^ n * радиус). Кроме того, периметр контура коха может быть увеличен за счет увеличения числа итераций. При количестве итераций, равном четырем, периметр петли составляет 702,9 мм, что в 2,14 раза больше периметра круговой петли. Преимущество заключается в увеличении периметра при сохранении того же занятого объема.

Фрактальный ковёр

Квадрат берется и виртуально (нулевая итерация) делится на 9 меньших конгруэнтных квадратов, каждый из которых составляет одну треть от исходного квадрата и центральный квадрат удаляется, чтобы получить первую итерацию. Аналогично, для второй итерации разделите каждый из восьми оставшихся сплошных квадратов на 9 конгруэнтных квадратов и удалите центральный квадрат. Продолжайте таким же образом, чтобы получить дальнейшие итерации ковра.

Создайте фрактальную ковровую антенну с подложкой диэлектрической постоянной 4,4 и тангенсом потерь 0,03 и с числом итераций, равным единице.

antC = fractalCarpet;
antC.NumIterations = 1;
sub = dielectric('EpsilonR',4.4,'LossTangent',0.03);
antC.Length = 27.9e-3;
antC.Width = 37.25e-3;
antC.Substrate = sub;
antC.Height = 1.59e-3;
antC.GroundPlaneLength = 48e-3;
antC.GroundPlaneWidth = 57e-3;
antC.FeedOffset= [-0.5*antC.GroundPlaneLength -6e-3];

Выполните сетку антенны с максимальной длиной кромки 20e-3.

mesh(antC,'MaxEdgeLength',20e-3);

Рассчитайте импеданс, s-параметры в диапазоне частот от 1,5 ГГц до 5 ГГц.

freqRange = ((1.5:0.02:5)*1e9);
z1 = impedance(antC,freqRange);
s1 = sparameters(antC,freqRange);

Измените число итераций на две.

antC.NumIterations = 2;
figure;show(antC);

Вычислите импеданс со второй итерацией и постройте график импеданса первой и второй итераций.

z2 = impedance(antC,freqRange);
figure;plot(freqRange,real(z1),'b',freqRange,imag(z1),'r'); grid on;
hold on;plot(freqRange,real(z2),'-g',freqRange,imag(z2),'-k');
legend('RIteration1','XIteration1','RIteration2','XIteration2');

Фрактальная ковровая антенна резонирует на множестве частот. Это связано с самоподобием в геометрии антенны. Резонансные частоты для фрактального ковра с числом итераций два сдвинуты влево по сравнению с числом итераций, равным единице.

Вычислите s-параметры во второй итерации и постройте график для первой и второй итераций.

s2 = sparameters(antC,freqRange);
figure;rfplot(s1);
hold on;rfplot(s2);
legend('Iteration1','Iteration2');

Таблица полос пропускания и величин коэффициента отражения с первой и второй итерациями.

Iteration = [1;2;2];
FrequencyRange_GHz = {'3.84-3.92';'3.18-3.24';'3.8-3.88'};
ReflectionCoefficients_dB = [-14.22; -11.95; -15.64];
Bandwidth_MHz = [80;60;80];
table(Iteration,FrequencyRange_GHz,Bandwidth_MHz,ReflectionCoefficients_dB)

ans =

  3x4 table

    Iteration    FrequencyRange_GHz    Bandwidth_MHz    ReflectionCoefficients_dB
    _________    __________________    _____________    _________________________

        1          {'3.84-3.92'}            80                   -14.22          
        2          {'3.18-3.24'}            60                   -11.95          
        2          {'3.8-3.88' }            80                   -15.64          

При числе итераций один коэффициент отражения меньше -10dB в одной полосе. При количестве итераций два существуют две полосы частот, как указано в таблице. Свойство самоподобия фракталов даёт многолучевое поведение. Так, фрактальные антенны могут использоваться в разных диапазонах частот. Площадь фрактального ковра уменьшается в (8/9) ^ n раз по сравнению с исходной площадью квадратного пятна с увеличением числа итераций (n). При n = 1 уменьшение площади составляет 11,1 процента, а при n = 2 уменьшение площади составляет 21 процент по сравнению с областью с нулевой итерацией.

Заключение

Применение фрактальной геометрии является одним из способов миниатюризации антенн. С увеличением числа итераций увеличивается электрическая длина диполя, периметр петли коха. Это увеличение помогает установить большую электрическую длину в меньший объем. Размеры фрактальных антенн уменьшаются по сравнению с обычными антеннами. Самоподобие в геометрии фрактальных антенн, помогает им работать в множестве полос. Миниатюризация и многополосные характеристики могут наблюдаться с другими фракталами, такими как фрактальная прокладка, фрактальная снежинка и фрактальные антенны Острова.

Ссылки

[1] Вернер, Д. Х. и С. Гангули, «Обзор исследований фрактальной антенной инженерии», IEEE Antennas and Propagation Magazine, Vol. 45, No. 1, 38-57, 2003.

[2] "Проектирование и реализация ковровой фрактальной антенны Sierpinski для беспроводной связи. Рахул Батра, П. Л. Заде, Дипика.