Этот пример показывает, что полюса высокой кратности имеют высокую числовую чувствительность и могут сдвигаться на значительные величины при переключении представления модели.
Полюса с высокой кратностью и скопления близлежащих полюсов могут быть очень чувствительны к ошибкам округления, что иногда может иметь драматические последствия. В этом примере используется дискретная модель состояния-пространства 15-го порядка Hss с кластером устойчивых полюсов вблизи z=1:
load numdemo Hss
Преобразование модели в передаточную функцию с помощью tf:
Htf = tf(Hss);
Сравнение ответов на шаги Hss и Htf чтобы увидеть, как чувствительность к полюсам может повлиять на стабильность модели и вызвать большие изменения в вычисленных временных и частотных откликах:
step(Hss,'b',Htf,'r',20) legend('Hss','Htf')
Пошаговый ответ Htf расходится, даже если модель «государство-пространство» Hss стабилен (все его полюса лежат в единичном круге). График Боде также показывает большое расхождение между моделями state-space и transfer function:
bode(Hss,'b',Htf,'r--') legend('Hss','Htf')
Алгоритм, используемый для преобразования из пространства состояний в передаточную функцию, не вызывает этого несоответствия. При преобразовании из пространства состояний в нулевой коэффициент усиления, первый шаг в любом преобразовании SS в TF, расхождения исчезают:
Hzpk = zpk(Hss); step(Hss,'b',Hzpk,'r--') legend('Hss','Hzpk')
bode(Hss,'b',Hzpk,'r--')
Этот анализ показывает, что расхождения возникают в преобразовании ZPK в TF, которое просто включает в себя вычисление полинома из его корней.
Чтобы понять причину этих больших расхождений, сравните карты полюс/ноль модели state-space и ее передаточную функцию:
pzplot(Hss,'b',Htf,'r') legend('Hss','Htf')
Обратите внимание на плотно упакованное скопление полюсов около z = 1 вHss. Когда эти полюса рекомбинированы в знаменатель передаточной функции, ошибки округления возмущают кластер полюсов в равномерно распределенное кольцо полюсов вокруг z = 1 (типичная картина для возмущенных множественных корней). К сожалению, некоторые возмущенные полюса пересекают единичный круг и делают передаточную функцию нестабильной. Увеличьте изображение графика, чтобы увидеть следующие полюса:
pzplot(Hss,'b',Htf,'r'); axis([0.5 1.5 -.4 .4])
Подтвердить это объяснение можно простым экспериментом. Построение полинома, корни которого являются полюсами R1 из Hss, вычислить корни этого многочлена и сравнить эти корни с R1:
R1 = pole(Hss); % poles of Hss Den = poly(R1); % polynomial with roots R1 R2 = roots(Den); % roots of this polynomial plot(real(R1),imag(R1),'bx',real(R2),imag(R2),'r*') legend('R1','roots(poly(R1))');
Этот сюжет показывает, что ROOTS(POLY(R1)) очень отличается от R1 из-за кластеризованных корней. В результате корни знаменателя передаточной функции значительно отличаются от полюсов исходной модели «состояние-пространство» Hss.
В заключение следует избегать преобразования моделей «состояние-пространство» или «нулевой полюс-коэффициент усиления» в форму передаточной функции, поскольку этот процесс может привести к значительной потере точности.