Распределение узлов «оптимально» для интерполяции
knots = optknt(tau,k,maxiter)
optknt(tau,k)
knots = optknt(tau,k,maxiter) обеспечивает последовательность узлов t что лучше всего подходит для интерполяции из Sk, t в последовательности участкаtau, с 10 значение по умолчанию для дополнительного ввода maxiter это ограничивает число итераций, используемых в этой операции. Здесь используется лучшее или оптимальное в смысле Micchelli/Rivlin/Winograd и Gaffney/Powell, и это означает следующее: Для любой схемы восстановления
R, которая обеспечивает интерполянт Rg, который соответствует заданной g на участках tau(1), ..., tau(n), мы можем определить наименьшую константу constR , для которой ‖ g - Rg ‖ ≤ constR ‖ Dkg ‖ для всех гладких функций g.
Здесь ‖ f ‖: = suptau (1) < x < tau (n) | f (x) |. Тогда мы можем искать оптимальную схему восстановления, как схему R, для которой constR как можно меньше. Micchelli/Rivlin/Winograd показали, что это интерполяция из Sk, t, сt однозначно определяется следующими условиями:
t(1) = ... = t(k) = tau(1);
t(n+1) = ... = t(n+k) = tau(n);
Любая абсолютно постоянная функция h с изменениями знака на площадках t(k+1), ..., t(n) и нигде больше не удовлетворяет
всех f∈Sk,t
Гаффни/Пауэлл назвал эту схему интерполяции оптимальной, так как она обеспечивает центральную функцию в полосе, образованной всеми интерполяторами к заданным данным, которые, кроме того, имеют свою k-ю производную между М и -М (для больших М).
optknt(tau,k) является таким же, как optknt(tau,k,10).
Иллюстрацию см. в последней части примера «Интерполяция сплайнов». Для следующей высокоуниформной узловой последовательности
t = [0, .0012+[0, 1, 2+[0,.1], 4]*1e-5, .002, 1];
команда optknt(t,3) завершится неуспешно, пока команда optknt(t,3,20), используя высокое значение для дополнительного параметра maxiter, будет иметь успех.
Это рутина Фортрана SPLOPT в PGS. Он основан на алгоритме, описанном в [1], для построения этой знаковой функции h, упомянутой выше. Это по существу метод Ньютона для решения результирующей нелинейной системы уравнений, с aveknt(tau,k) предоставление первого предположения для t(k+1), ...,t(n)и некоторое демпфирование, используемое для поддержания условий Шёнберга-Уитни.
[1] С. де Бур. «Вычислительные аспекты оптимального восстановления». В оптимальной оценке в теории аппроксимации, C.A. Micchelli & T.J. Rivlin eds., Plenum Publ., New York, 1977, 69-91.
[2] P.W. Gaffney & M.J.D. Пауэлл. «Оптимальная интерполяция». В численном анализе Г. А. Уотсон изд., Лекционные записки по математике, № 506, Спрингер-Верлаг, 1976, 90-99.
[3] C.A. Micchelli, T.J. Rivlin & S. Winograd. «Оптимальное восстановление плавных функций». Номер. Математика 80, (1974), 903-906.