Задержка как система свертки

Целочисленные задержки

Рассмотрим задержку цифрового сигнала, $y[n]=x[$n-D], где D - целое число. Эта операция может быть представлена как $$\mathrm{сверточный\; фильтр}y$$= h * x, с конечной импульсной $\mathit{}\mathit{}характеристикой\mathit{}h\mathit{}[$n] = δ [n-D]. Соответствующая передаточная $${}^{\mathrm{функция}}$$- H (z) = z-D, а $\mathit{}частотный{\mathit{}}^{\mathit{}\mathit{отклик}}$- H (λ) = e-iλ D. Программно реализовать такой фильтр целочисленной задержки можно с помощью следующего кода MATLAB ®.

% Create the FIR
D = 3; % Delay value
h = [zeros(1,D) 1]

h = 1×4

     0     0     0     1

Сдвиг последовательности путем фильтрации ее через FIR h. Обратите внимание на начальные нули в начале выходного сигнала, которые обозначают начальное условие, присущее таким фильтрам.

x = (1:10)';
dfir = dsp.FIRFilter(h);
y = dfir(x)'

y = 1×10

     0     0     0     1     2     3     4     5     6     7

Не целочисленные задержки через D/A интерполяцию

Задержка последовательности $\mathit{x}\mathit{[}\mathit{}n-D$] не определяется всякий раз, когда D не является целым числом. Чтобы сделать такие дробные задержки разумными, необходимо добавить промежуточный этап интерполяции D/A, чтобы выполнить выборку выходного сигнала на contniuum. То есть $\mathit{}y\mathit{}[n\stackrel{}{\text{]}{\mathit{}}_{\mathit{=}}}\mathit{}xnˆ\mathit{}($n-D), $\stackrel{}{{\mathit{}}_{\mathit{где}}}$xnˆ обозначает некоторую D/A-интерполяцию входной $\mathit{}$последовательности x. D/A-интерполяционная $\stackrel{}{{\mathit{}}_{\mathit{функция}}}$xnˆ может зависеть от n и может рассматриваться как представление базовой модели аналогового сигнала, из которой $\mathit{}$была дискретизирована последовательность x. Эта стратегия используется в других проблемах повторной выборки, таких как преобразование ставок.

В этом примере представлены фильтры дробной задержки, использующие две модели интерполяции, обе из которых предлагаются как часть панели инструментов DSP Systems Toolbox.

Фильтры дробной задержки с ограниченной полосой пропускания

Интерполяционная формула Шеннона-Уиттакера $\stackrel{}{\mathit{xˆ}}\left(\mathit{t}\right)\underset{\mathit{}}{}\text{=∑k}\mathit{}x\mathit{}[\mathrm{k]}\mathit{}sinc\mathit{}($t-k) моделирует сигналы с ограниченной полосой пропускания. То есть промежуточный $\stackrel{}{\mathit{}}$xˆ D/A преобразования представляет собой ограниченную полосу частот реконструкцию входной последовательности. Для значения задержки D дробная $\mathit{}задержка\mathit{}y\stackrel{]}{\text{[}\mathit{n}}\mathit{=}\mathit{}xˆ$(n-D), которая использует один и тот $\stackrel{}{\mathit{}}$же xˆ для каждого n, может быть представлена как сверточный фильтр. Этот фильтр называется идеальным полосовым фильтром дробной задержки, и его импульсной характеристикой является

$${}_{\mathrm{hD}}[k]\text{=}sinc($$k-D).

Соответствующий частотный отклик (то есть DTFT) задаётся $${}_{\mathrm{HD}}(\lambda ){}^{=}$$e-istartD .

Causal FIR аппроксимация идеального фильтра сдвига с ограниченной полосой частот

Идеальным фильтром сдвига sinc, описанным в предыдущем разделе, является фильтр всех частот (то есть $|{\mathit{}}_{\mathit{}}Hd(\lambda )\mathrm{}$| = 1), но он имеет бесконечную и некаузальную импульсную ${\mathit{}}_{\mathit{}}$характеристику hD. В MATLAB он не может быть представлен как вектор, а скорее как функция индекса k.

% Ideal Filter sequence
D = 0.4;
hIdeal = @(k) sinc(k-D); 

Для практических и вычислительных целей идеальный фильтр может быть усечен в окне конечного индекса, что приводит к некоторой потере полосы пропускания. Для целевого значения задержки $\mathit{D}$ и требуемой длины N окно индексов $\mathit{k,}$удовлетворяющих $\mathit{}\mathit{}\frac{\mathit{}}{\mathrm{|D-k|\le N2}}$, симметрично относительно $\mathit{D}$и захватывает главный лепесток идеального фильтра. Для $\mathit{D}{\mathit{=}}_{\mathrm{}}\mathit{i0}$ + FD, $\mathit{}\mathit{где}\mathrm{}$0≤FD≤1 и ${\mathit{}}_{\mathrm{}}$целое число i0, явными индексами окна $${}_{\mathrm{}}являются\frac{\{\mathrm{i0}}{\mathrm{-}}\lfloor {}_{\mathrm{}}N-12\frac{\rfloor }{\mathrm{,}}..$$., i0+⌊N2 ⌋}. ${\mathit{}}_{\mathrm{}}$Целое число i0 называется целочисленной задержкой и может быть выбрано произвольно. Чтобы сделать КИО ${\mathit{}}_{\mathrm{}}\frac{\mathit{}причинно-следственным\mathrm{,}}{\mathrm{}}$установите i0=⌊N-12 ⌋, так чтобы $\mathrm{}\mathit{}\mathrm{}окно\; индекса$было {0,..., N-1}. Код ниже изображает обоснование причинного приближения FIR.

% FIR approximation with causal shift
N = 6;
idxWindow = (-floor((N-1)/2):floor(N/2))';
i0 = -idxWindow(1); % Causal latency
hApprox = hIdeal(idxWindow);
plot_causal_fir("sinc",D,N,i0,hApprox,hIdeal);

Усечение синк-фильтра вызывает пульсацию частотной характеристики, которая может быть устранена путем применения весов $\left\{{\mathit{}}_{\mathit{wk}}\right\}$ (таких как Кайзер или Хэмминг) к коэффициентам FIR.

Наконец, полученная модель аппроксимации КИХ идеального фильтра дробной задержки с ограниченной полосой частот приведена ниже.

Вы можете разработать такой фильтр с помощью designFracDelayFIR функции и dsp.VariableFractionalDelay Системный объект в 'FIR' режим, в которых используются веса окон Кайзера.

Фильтры дробной задержки на основе лагранжа

Фильтры дробной задержки на основе лагранжа используют полиномиальную подгонку на движущееся окно входных выборок. То есть $\stackrel{}{{\mathit{}}_{\mathit{xnˆ}}}\left(\mathit{t}\right)$ является многочленом некоторой фиксированной степени K. Как и фильтры задержки на основе sinc, фильтры задержки на основе Лагранжа могут быть сформулированы как причинный КИХ сверток (то есть y $\mathit{}=\mathit{}h\mathit{}$* x) длины N = K + 1, и поддерживаются в