paretosearch и gamultiobjВ этом примере показано, как создать набор точек на фронте Парето с помощью обоих paretosearch и gamultiobj. Целевая функция имеет две цели и двумерную управляющую переменную x. Целевая функция mymulti3 доступен в сессии MATLAB ®, когда вы нажимаете кнопку, чтобы изменить или попробовать этот пример. Либо скопируйте mymulti3 код для сеанса. Для скорости вычисления функция векторизируется.
type mymulti3function f = mymulti3(x) % f(:,1) = x(:,1).^4 + x(:,2).^4 + x(:,1).*x(:,2) - (x(:,1).^2).*(x(:,2).^2) - 9*x(:,1).^2; f(:,2) = x(:,2).^4 + x(:,1).^4 + x(:,1).*x(:,2) - (x(:,1).^2).*(x(:,2).^2) + 3*x(:,2).^3;
Поиск наборов Pareto для целевых функций с помощью paretosearch и gamultiobj. Установите UseVectorized опция для true для добавленной скорости. Включите функцию графика для визуализации набора Парето.
rng default nvars = 2; opts = optimoptions(@gamultiobj,'UseVectorized',true,'PlotFcn','gaplotpareto'); [xga,fvalga,~,gaoutput] = gamultiobj(@(x)mymulti3(x),nvars,[],[],[],[],[],[],[],opts);
Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.
optsp = optimoptions('paretosearch','UseVectorized',true,'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); [xp,fvalp,~,psoutput] = paretosearch(@(x)mymulti3(x),nvars,[],[],[],[],[],[],[],optsp);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Теоретически вычислить точные точки на фронте Парето с помощью mymulti4. mymulti4 функция доступна в сессии MATLAB ®, когда вы нажимаете кнопку, чтобы изменить или попробовать этот пример.
type mymulti4function mout = mymulti4(x)
%
gg = [4*x(1)^3+x(2)-2*x(1)*(x(2)^2) - 18*x(1);
x(1)+4*x(2)^3-2*(x(1)^2)*x(2)];
gf = gg + [18*x(1);9*x(2)^2];
mout = gf(1)*gg(2) - gf(2)*gg(1);
mymulti4 функция оценивает градиенты двух целевых функций. Далее, для диапазона значений x(2), использовать fzero для определения точки, в которой градиенты точно параллельны, где производится вывод mout = 0.
a = [fzero(@(t)mymulti4([t,-3.15]),[2,3]),-3.15]; for jj = linspace(-3.125,-1.89,50) a = [a;[fzero(@(t)mymulti4([t,jj]),[2,3]),jj]]; end figure plot(fvalp(:,1),fvalp(:,2),'bo'); hold on fs = mymulti3(a); plot(fvalga(:,1),fvalga(:,2),'r*'); plot(fs(:,1),fs(:,2),'k.') legend('Paretosearch','Gamultiobj','True') xlabel('Objective 1') ylabel('Objective 2') hold off
gamultiobj находит точки с несколько более широким разбросом в пространстве объективных функций. Постройте график решений в пространстве переменных решений вместе с теоретической оптимальной кривой Парето и контурным графиком двух объективных функций.
[x,y] = meshgrid(1.9:.01:3.1,-3.2:.01:-1.8); mydata = mymulti3([x(:),y(:)]); myff = sqrt(mydata(:,1) + 39);% Spaces the contours better mygg = sqrt(mydata(:,2) + 28);% Spaces the contours better myff = reshape(myff,size(x)); mygg = reshape(mygg,size(x)); figure; hold on contour(x,y,mygg,50) contour(x,y,myff,50) plot(xp(:,1),xp(:,2),'bo') plot(xga(:,1),xga(:,2),'r*') plot(a(:,1),a(:,2),'-k') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold off
В отличие от paretosearch решение, gamultiobj решение имеет точки на крайних концах диапазона в пространстве целевой функции. Тем не менее, paretosearch решение имеет больше точек, которые ближе к истинному решению как в пространстве объективных функций, так и в пространстве переменных решений. Количество точек на передней панели Парето различно для каждого решателя при использовании опций по умолчанию.
Что произойдет, если решение проблемы будет иметь большие управляющие переменные? Изучите этот случай, сдвинув переменные проблемы. Для неограниченной проблемы, gamultiobj может привести к сбою, в то время как paretosearch является более устойчивым к таким сдвигам.
Для упрощения сравнения укажите 35 точек на передней панели Парето для каждого решателя.
shift = [20,-30];
fun = @(x)mymulti3(x+shift);
opts.PopulationSize = 100; % opts.ParetoFraction = 35
[xgash,fvalgash,~,gashoutput] = gamultiobj(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],opts);Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.
gamultiobj не удалось найти полезный набор Парето.
optsp.PlotFcn = []; optsp.ParetoSetSize = 35; [xpsh,fvalpsh,~,pshoutput] = paretosearch(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],[],optsp);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
figure plot(fvalpsh(:,1),fvalpsh(:,2),'bo'); hold on plot(fs(:,1),fs(:,2),'k.') legend('Paretosearch','True') xlabel('Objective 1') ylabel('Objective 2') hold off
paretosearch находит точки решения, равномерно распределенные почти по всему возможному диапазону.
Добавление границ, даже довольно свободных, помогает обоим gamultiobj и paretosearch найти соответствующие решения. Установить нижние границы -50 в каждом компоненте и верхние границы 50.
opts.PlotFcn = []; optsp.PlotFcn = []; lb = [-50,-50]; ub = -lb; [xgash,fvalgash,~,gashoutput] = gamultiobj(fun,nvars,[],[],[],[],lb,ub,opts);
Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.
[xpsh2,fvalpsh2,~,pshoutput2] = paretosearch(fun,nvars,[],[],[],[],lb,ub,[],optsp);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
figure plot(fvalpsh2(:,1),fvalpsh2(:,2),'bo'); hold on plot(fvalgash(:,1),fvalgash(:,2),'r*'); plot(fs(:,1),fs(:,2),'k.') legend('Paretosearch','Gamultiobj','True') xlabel('Objective 1') ylabel('Objective 2') hold off
В этом случае оба решателя находят хорошие решения.
paretosearch от gamultiobj РешениеПолучение аналогичного диапазона решений из решателей путем запуска paretosearch от gamultiobj решение.
optsp.InitialPoints = xgash; [xpsh3,fvalpsh3,~,pshoutput3] = paretosearch(fun,nvars,[],[],[],[],lb,ub,[],optsp);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
figure plot(fvalpsh3(:,1),fvalpsh3(:,2),'bo'); hold on plot(fvalgash(:,1),fvalgash(:,2),'r*'); plot(fs(:,1),fs(:,2),'k.') legend('Paretosearch','Gamultiobj','True') xlabel('Objective 1') ylabel('Objective 2') hold off
Теперь paretosearch решение аналогично gamultiobj решение, хотя некоторые точки решения различаются.
Другой способ получения хорошего решения - начать с точек, которые минимизируют каждую целевую функцию отдельно.
Из мультиобъективной функции создайте однообъективную функцию, которая выбирает каждую цель поочередно. Используйте смещенную функцию из предыдущего раздела. Поскольку решатели получают хорошие начальные точки, нет необходимости задавать границы.
nobj = 2; % Number of objectives x0 = -shift; % Initial point for single-objective minimization uncmin = cell(nobj,1); % Cell array to hold the single-objective minima allfuns = zeros(nobj,2); % Hold the objective function values eflag = zeros(nobj,1); fopts = optimoptions('patternsearch','Display','off'); % Use an appropriate solver here for i = 1:nobj indi = zeros(nobj,1); % Choose the objective to minimize indi(i) = 1; funi = @(x)dot(fun(x),indi); [uncmin{i},~,eflag(i)] = patternsearch(funi,x0,[],[],[],[],[],[],[],fopts); % Minimize objective i allfuns(i,:) = fun(uncmin{i}); end uncmin = cell2mat(uncmin); % Matrix of start points
Начать paretosearch из однообъектных минимальных точек и обратите внимание, что он имеет полный диапазон в своих решениях. paretosearch добавляет случайные начальные точки к поставляемым, чтобы иметь население не менее options.ParetoSetSize отдельных лиц. Аналогично, gamultiobj добавляет случайные точки к предоставленным для получения совокупности, по меньшей мере, (options.PopulationSize)*(options.ParetoFraction) отдельных лиц.
optsp = optimoptions(optsp,'InitialPoints',uncmin);
[xpinit,fvalpinit,~,outputpinit] = paretosearch(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],[],optsp);Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Теперь решите проблему с помощью gamultiobj начиная с начальных точек.
opts = optimoptions(opts,'InitialPopulationMatrix',uncmin);
[xgash2,fvalgash2,~,gashoutput2] = gamultiobj(fun,nvars,[],[],[],[],[],[],opts);Optimization terminated: average change in the spread of Pareto solutions less than options.FunctionTolerance.
figure plot(fvalpinit(:,1),fvalpinit(:,2),'bo'); hold on plot(fvalgash2(:,1),fvalgash2(:,2),'r*'); plot(fs(:,1),fs(:,2),'k.') plot(allfuns(:,1),allfuns(:,2),'gs','MarkerSize',12) legend('Paretosearch','Gamultiobj','True','Start Points') xlabel('Objective 1') ylabel('Objective 2') hold off
Оба решателя заполняют фронт Парето между крайними точками с достаточно точными и хорошо разнесенными решениями.
Просмотр конечных точек в пространстве переменных принятия решений.
figure; hold on xx = x - shift(1); yy = y - shift(2); contour(xx,yy,mygg,50) contour(xx,yy,myff,50) plot(xpinit(:,1),xpinit(:,2),'bo') plot(xgash2(:,1),xgash2(:,2),'r*') ashift = a - shift; plot(ashift(:,1),ashift(:,2),'-k') plot(uncmin(:,1),uncmin(:,2),'gs','MarkerSize',12); xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold off
