Поиск точек в наборе Парето
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x, так что x всегда находится в диапазоне lb ≤ x ≤ ub. Если линейных уравнений не существует, установите Aeq = [] и beq = []. Если x(i) не имеет нижней границы, набор lb(i) = -Inf. Если x(i) не имеет верхней границы, набор ub(i) = Inf.
x = paretosearch(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)c(x) определено в nonlcon. paretosearch функция находит недоминированные точки, такие, что c(x) ≤ 0. Если границ не существует, установите lb = [], ub = []или и то и другое.
Примечание
В настоящее время, paretosearch не поддерживает нелинейные ограничения равенства ceq(x) = 0.
Найдите точки на фронте Парето двухобъектной функции двумерной переменной.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график рассеяния.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически решением этой задачи является прямая линия от [-2,-1] кому [1,2]. paretosearch возвращает равномерно разнесенные точки вблизи этой линии.
Создание фронта Парето для задачи с двумя целями в двух измерениях с учетом линейной зависимости x(1) + x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = 1; rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,A,b);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график рассеяния.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Теоретически решением этой задачи является прямая линия от [-2,-1] кому [0,1]. paretosearch возвращает равномерно разнесенные точки вблизи этой линии.
Создание фронта Парето для задачи с двумя целями в двух измерениях, зависящих от границ x(1) >= 0 и x(2) <= 1.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [0,-Inf]; % x(1) >= 0 ub = [Inf,1]; % x(2) <= 1 rng default % For reproducibility x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график рассеяния.
plot(x(:,1),x(:,2),'m*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)')
Все точки решения находятся на границах ограничения x(1) = 0 или x(2) = 1.
Создание фронта Парето для задачи с двумя целями в двух измерениях, зависящих от границ -1.1 <= x(i) <= 1.1 и нелинейное ограничение norm(x)^2 <= 1.2. Функция нелинейных ограничений появляется в конце этого примера и работает, если этот пример выполняется в реальном времени. Чтобы выполнить этот пример в противном случае, включите функцию нелинейных ограничений в качестве файла на пути MATLAB ®.
Чтобы лучше видеть эффект нелинейного ограничения, задайте параметры, чтобы использовать большой размер набора Парето.
rng default % For reproducibility fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-1.1,-1.1]; ub = [1.1,1.1]; options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetSize',200); x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,@circlecons,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Постройте график решения как график рассеяния. Включите график круговой границы зависимости.
figure plot(x(:,1),x(:,2),'k*') xlabel('x(1)') ylabel('x(2)') hold on rectangle('Position',[-1.2 -1.2 2.4 2.4],'Curvature',1,'EdgeColor','r') xlim([-1.2,0.5]) ylim([-0.5,1.2]) axis square hold off
Точки решения, которые имеют положительные x(1) значения или отрицательные x(2) значения близки к границе нелинейной зависимости.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
Контроль хода выполнения paretosearch, укажите 'psplotparetof' функция графика.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn','psplotparetof'); lb = [-4,-4]; ub = -lb; x = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Решение выглядит как четвертькруглая дуга с радиусом 18, которая может быть показана как аналитическое решение.
Получение передней панели Pareto как в пространстве функций, так и в пространстве параметров путем вызова paretosearch с обоими x и fval выходы. Задайте параметры для печати набора Парето как в пространстве функций, так и в пространстве параметров.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; options = optimoptions('paretosearch','PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); rng default % For reproducibility [x,fval] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Аналитическим решением в пространстве целевой функции является четвертькруглая дуга радиуса 18. В пространстве параметров аналитическое решение представляет собой прямую линию из [-2,-1] кому [1,2]. Точки решения близки к аналитическим кривым.
Задайте параметры для мониторинга процесса решения набора Pareto. Кроме того, получите больше выходных данных от paretosearch для понимания процесса решения.
options = optimoptions('paretosearch','Display','iter',... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'}); fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; lb = [-4,-4]; ub = -lb; rng default % For reproducibility [x,fval,exitflag,output] = paretosearch(fun,2,[],[],[],[],lb,ub,[],options);
Iter F-count NumSolutions Spread Volume 0 60 11 - 3.7872e+02 1 386 12 - 3.4654e+02 2 702 27 9.4324e-01 2.9452e+02 3 1029 27 - 2.9904e+02 4 1357 40 0.0000e+00 3.0154e+02 5 1697 60 1.4903e-01 3.0369e+02 6 1841 60 1.4515e-01 3.0439e+02 7 1961 60 1.7716e-01 3.0465e+02 8 2075 60 1.6123e-01 3.0475e+02 9 2189 60 1.7419e-01 3.0449e+02 Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Проверьте дополнительные выходы.
fprintf('Exit flag %d.\n',exitflag)Exit flag 1.
disp(output)
iterations: 10
funccount: 2189
volume: 304.4256
averagedistance: 0.0215
spread: 0.1742
maxconstraint: 0
message: 'Pareto set found that satisfies the constraints. ...'
rngstate: [1x1 struct]
Получите и изучите остатки зависимостей фронта Парето. Создание проблемы с линейным ограничением неравенства sum(x) <= -1/2 и ограничение нелинейного неравенства norm(x)^2 <= 1.2. Для повышения точности используйте 200 точек на передней панели Pareto и ParetoSetChangeTolerance из 1e-7, и дать естественные границы -1.2 <= x(i) <= 1.2.
Функция нелинейных ограничений появляется в конце этого примера и работает, если этот пример выполняется в реальном времени. Чтобы выполнить этот пример в противном случае, включите функцию нелинейных ограничений в качестве файла на пути MATLAB ®.
fun = @(x)[norm(x-[1,2])^2;norm(x+[2,1])^2]; A = [1,1]; b = -1/2; lb = [-1.2,-1.2]; ub = -lb; nonlcon = @circlecons; rng default % For reproducibility options = optimoptions('paretosearch','ParetoSetChangeTolerance',1e-7,... 'PlotFcn',{'psplotparetof' 'psplotparetox'},'ParetoSetSize',200);
Звонить paretosearch с использованием всех выходов.
[x,fval,exitflag,output,residuals] = paretosearch(fun,2,A,b,[],[],lb,ub,nonlcon,options);
Pareto set found that satisfies the constraints. Optimization completed because the relative change in the volume of the Pareto set is less than 'options.ParetoSetChangeTolerance' and constraints are satisfied to within 'options.ConstraintTolerance'.
Ограничения неравенства уменьшают размер набора Парето по сравнению с неограниченным набором. Проверьте возвращенные остатки.
fprintf('The maximum linear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqlin))The maximum linear inequality constraint residual is 0.000000.
fprintf('The maximum nonlinear inequality constraint residual is %f.\n',max(residuals.ineqnonlin))The maximum nonlinear inequality constraint residual is -0.002619.
Максимальные возвращаемые остатки являются отрицательными, что означает, что все возвращаемые точки осуществимы. Максимальные возвращаемые остатки близки к нулю, что означает, что каждое ограничение активно для некоторых точек.
function [c,ceq] = circlecons(x) ceq = []; c = norm(x)^2 - 1.2; end
paretosearch использует поиск по образцу для поиска точек на передней панели Парето. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритм поиска.
Задача «Оптимизировать интерактивный редактор» обеспечивает визуальный интерфейс для paretosearch.