iradon функция инвертирует преобразование Радона и, следовательно, может использоваться для восстановления изображений.
Как описано в Radon Transform, дано изображение I и набор углов theta, radon функция может использоваться для вычисления преобразования Радона.
R = radon(I,theta);
Функция iradon затем можно вызвать для восстановления изображения I из данных проекции.
IR = iradon(R,theta);
В приведенном выше примере проекции вычисляются по исходному изображению I.
Однако следует отметить, что в большинстве областей применения отсутствует оригинальное изображение, из которого сформированы проекции. Например, обратное преобразование Радона обычно используется в томографии. При рентгенопоглощающей томографии проекции формируют путем измерения ослабления излучения, которое проходит через физический образец под разными углами. Исходное изображение можно рассматривать как поперечное сечение образца, в котором значения интенсивности представляют плотность образца. Проекции собирают с помощью специального оборудования, а затем реконструируют внутреннее изображение образца с помощью iradon. Это позволяет получить неинвазивное изображение внутренней части живого тела или другого непрозрачного объекта.
iradon восстанавливает изображение из проекций параллельного луча. В геометрии параллельного луча каждая проекция формируется путем объединения набора интегралов линий через изображение под определенным углом.
На следующем рисунке показано, как геометрия параллельного пучка применяется в рентгеновской абсорбционной томографии. Следует отметить, что имеется равное количество n излучателей и n датчиков. Каждый датчик измеряет излучение, испускаемое из соответствующего ему излучателя, и затухание в излучении дает меру интегрированной плотности или массы объекта. Это соответствует линейному интегралу, который вычисляется в преобразовании Радона.
Геометрия параллельного луча, используемая на рисунке, аналогична геометрии, описанной в преобразовании Радона. f (x, y) обозначает яркость изображения, и ′) является проектированием в угловой тете.
Проекции параллельной балки через объект
Другой геометрией, которая обычно используется, является геометрия веерной балки, в которой имеется один источник и n датчиков. Дополнительные сведения см. в разделе Проекция балки вентилятора. Для преобразования данных проекции параллельного луча в данные проекции вентиляторного луча используйте para2fan функция.
iradon использует алгоритм обратной проекции с фильтрацией для вычисления обратного преобразования Радона. Этот алгоритм формирует аппроксимацию изображения I на основе проекций в колоннах R. Более точный результат может быть получен путем использования большего количества проекций при реконструкции. Как количество проекций (длина theta) увеличивается, реконструированное изображение IR более точно аппроксимирует исходное изображение I. Вектор theta должен содержать монотонно увеличивающиеся угловые значения с постоянным приращением угла Dtheta. Когда скаляр Dtheta известно, его можно передать iradon вместо массива значений тета. Вот пример.
IR = iradon(R,Dtheta);
Алгоритм отфильтрованной обратной проекции фильтрует проекции в R и затем восстанавливает изображение с использованием отфильтрованных проекций. В некоторых случаях в проекциях может присутствовать шум. Чтобы удалить высокочастотный шум, примените окно к фильтру, чтобы ослабить шум. Многие такие оконные фильтры доступны в iradon. Пример вызова iradon ниже применяется окно Хэмминга к фильтру. См. раздел iradon для получения дополнительной информации. Чтобы получить данные проекции без фильтрации, укажите 'none' для параметра фильтра.
IR = iradon(R,theta,'Hamming');
iradon также позволяет задать нормированную частоту, D, выше которого фильтр имеет нулевой отклик. D должен быть скаляром в диапазоне [0,1]. При этой опции частотная ось масштабируется так, что весь фильтр сжимается, чтобы вписаться в частотный диапазон [0,D]. Это может быть полезно в случаях, когда проекции содержат мало высокочастотной информации, но имеется высокочастотный шум. В этом случае шум может быть полностью подавлен без ущерба для реконструкции. Следующий вызов iradon устанавливает нормированное значение частоты, равное 0,85.
IR = iradon(R,theta,0.85);
Приведенные ниже команды иллюстрируют восстановление изображения на основе данных параллельной проекции. Тестовый образ представляет собой фантом головки Shepp-Logan, который может быть создан с помощью phantom функция. Фантомное изображение иллюстрирует многие качества, которые обнаруживаются в реальной томографической визуализации человеческих голов. Яркая эллиптическая оболочка вдоль внешней части аналогична черепу, а многие эллипсы внутри аналогичны особенностям мозга.
Создайте фантомное изображение головы Shepp-Logan.
P = phantom(256); imshow(P)
Вычислите преобразование Радона фантомного мозга для трех различных наборов значений тета. R1 имеет 18 выступов, R2 имеет 36 проекций, и R3 имеет 90 выступов.
theta1 = 0:10:170; [R1,xp] = radon(P,theta1); theta2 = 0:5:175; [R2,xp] = radon(P,theta2); theta3 = 0:2:178; [R3,xp] = radon(P,theta3);
Отображение графика одного из преобразований Радона фантома головы Шепп-Логана. На следующем рисунке R3преобразование с 90 проекциями.
figure, imagesc(theta3,xp,R3); colormap(hot); colorbar
xlabel('\theta'); ylabel('x\prime');Радоновая трансформация головного фантома с использованием 90 проекций
Обратите внимание, что некоторые функции входного изображения отображаются в этом изображении преобразования. Первый столбец в преобразовании Радона соответствует проекции при 0 °, которая интегрируется в вертикальном направлении. Самый центральный столбик соответствует проекции под 90 °, которая интегрируется в горизонтальном направлении. Проекция при 90 ° имеет более широкий профиль, чем проекция при 0 °, благодаря большей вертикальной полуоси крайнего эллипса фантома.
Восстановите фантомное изображение головки из данных проекции, созданных на шаге 2, и отобразите результаты.
I1 = iradon(R1,10); I2 = iradon(R2,5); I3 = iradon(R3,2); imshow(I1) figure, imshow(I2) figure, imshow(I3)
На следующем рисунке показаны результаты всех трех реконструкций. Обратите внимание, как изображение I1, которая была реконструирована только из 18 проекций, является наименее точной реконструкцией. Изображение I2, который был реконструирован из 36 проекций, лучше, но все еще недостаточно ясно, чтобы четко различить маленькие эллипсы в нижней части изображения. I3, реконструированный с использованием 90 проекций, больше всего напоминает оригинальное изображение. Обратите внимание, что когда число проекций относительно мало (как в I1 и I2), реконструкция может включать в себя некоторые артефакты из задней проекции.
Обратные преобразования радона фантома головы Шепп-Логана
