Документация

Функции MATLAB для полиномиальных моделей

Две функции MATLAB ® могут моделировать данные с помощью полинома.

В этом примере показано, как моделировать данные с помощью полинома.

Измерение количества y при нескольких значениях времени t.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25];
plot(t,y,'o')
title('Plot of y Versus t')

Вы можете попробовать смоделировать эти данные с помощью полиномиальной функции второй степени,

Неизвестные коэффициенты, $${}_{\mathrm{a0}}$$, $${}_{\mathrm{a1}}$$и $${}_{\mathrm{a2}}$$, вычисляются путем минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели (подгонка методом наименьших квадратов).

Использовать polyfit для поиска полиномиальных коэффициентов.

p = polyfit(t,y,2)

p = 1×3

   -0.2942    1.0231    0.4981

MATLAB вычисляет полиномиальные коэффициенты по убыванию.

Полиномиальная модель данных второй степени задается уравнением

Вычислите полином в равномерно разнесенные моменты времени, t2. Затем постройте график исходных данных и модели на одном графике.

t2 = 0:0.1:2.8;
y2 = polyval(p,t2);
figure
plot(t,y,'o',t2,y2)
title('Plot of Data (Points) and Model (Line)')

Оценка модели в векторе времени данных

y2 = polyval(p,t);

Вычислите остатки.

res = y - y2;

Постройте график остатков.

figure, plot(t,res,'+')
title('Plot of the Residuals')

Обратите внимание, что подгонка второй степени примерно соответствует основной форме данных, но не фиксирует гладкую кривую, на которой данные, по-видимому, лежат. Похоже, в остатках имеется шаблон, который указывает на то, что может потребоваться другая модель. Многочлен пятой степени (показанный далее) лучше отслеживает колебания данных.

Повторите упражнение, на этот раз используя многочлен пятой степени из polyfit.

p5 = polyfit(t,y,5)

p5 = 1×6

    0.7303   -3.5892    5.4281   -2.5175    0.5910    0.6000

Вычислить полином в t2 и постройте график посадки поверх данных в новом окне рисунка.

y3 = polyval(p5,t2);   
figure
plot(t,y,'o',t2,y3)
title('Fifth-Degree Polynomial Fit')

Линейная модель с неполиномиальными элементами

В этом примере показано, как вписать данные в линейную модель, содержащую неполиномиальные члены.

Если полиномиальная функция не создает удовлетворительную модель данных, можно попробовать использовать линейную модель с неполиномиальными членами. Например, рассмотрим следующую функцию, которая является линейной в параметрах $${}_{\mathrm{a0}}$$, $${}_{\mathrm{a1}}$$и $${}_{\mathrm{a2}}$$, но нелинейной в $$$$данных t:

Можно вычислить неизвестные коэффициенты $${}_{\mathrm{a0}}$$, $${}_{\mathrm{a1}}$$и $${}_{\mathrm{a2}}$$, построив и решив набор одновременных уравнений и решив параметры. Следующий синтаксис обеспечивает это путем формирования матрицы дизайна, где каждый столбец представляет переменную, используемую для прогнозирования ответа (термин в модели), и каждая строка соответствует одному наблюдению этих переменных.

Войти t и y в виде векторов столбцов.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';

Сформируйте матрицу проектирования.

X = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];

Расчет коэффициентов модели.

a = X\y

a = 3×1

    1.3983
   -0.8860
    0.3085

Поэтому модель данных задается

Теперь оцените модель в регулярно расположенных точках и постройте график модели с исходными данными.

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T))  exp(-T)  T.*exp(-T)]*a;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
title('Plot of Model and Original Data')

Множественная регрессия

В этом примере показано, как использовать множественную регрессию для моделирования данных, которые являются функцией нескольких переменных предиктора.

Когда y является функцией более чем одной прогнозирующей переменной, матричные уравнения, которые выражают отношения между переменными, должны быть расширены, чтобы учесть дополнительные данные. Это называется множественной регрессией.

Измерьте величину $$y$$ для нескольких значений $${}_{\mathrm{x1}}$$ и $${}_{\mathrm{x2}}$$. Сохранять эти значения в векторах x1, x2, и yсоответственно.

x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]';
x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]';
y  = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';

Модель этих данных имеет вид

Множественная регрессия решает неизвестные коэффициенты $${}_{\mathrm{a0}}$$, $${}_{\mathrm{a1}}$$и $${}_{\mathrm{a2}}$$, минимизируя сумму квадратов отклонений данных от модели (аппроксимация наименьших квадратов).

Построение и решение набора одновременных уравнений путем формирования матрицы проектирования, X.

X = [ones(size(x1))  x1  x2];

Решите параметры с помощью оператора обратной косой черты.

a = X\y

a = 3×1

    0.1018
    0.4844
   -0.2847

Модель подгонки наименьших квадратов данных

Чтобы проверить модель, найдите максимум абсолютного значения отклонения данных от модели.

Y = X*a;
MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr = 0.0038

Это значение намного меньше любого из значений данных, что указывает на то, что эта модель точно следует данным.

Программная подгонка

В этом примере показано, как использовать функции MATLAB для:

• Вычислить коэффициенты корреляции

• Подгонка многочлена к данным

• Построение графика и расчет доверительных границ

Загрузка выборочных данных переписи из census.mat, который содержит данные о населении США с 1790 по 1990 годы.

load census

В рабочую область MATLAB добавляются следующие две переменные.

Постройте график данных.

plot(cdate,pop,'ro')
title('U.S. Population from 1790 to 1990')

График показывает сильную закономерность, что указывает на высокую корреляцию между переменными.

corrcoef(cdate,pop)

ans = 2×2

    1.0000    0.9597
    0.9597    1.0000

[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2);

pop_fit = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop_fit,'-',cdate,pop,'+');
title('U.S. Population from 1790 to 1990')
legend('Polynomial Model','Data','Location','NorthWest');
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');

res = pop - pop_fit;
figure, plot(cdate,res,'+')
title('Residuals for the Quadratic Polynomial Model')

[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop,'+',...
     cdate,pop_fit,'g-',...
     cdate,pop_fit+2*delta,'r:',...
     cdate,pop_fit-2*delta,'r:'); 
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');
title('Quadratic Polynomial Fit with Confidence Bounds')
grid on