Проблема с начальным значением

vanderpoldemo - функция, определяющая уравнение ван дер Пол

type vanderpoldemo

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)
%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation for ODEDEMO.

% Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Уравнение записывается как система двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ). Эти уравнения вычисляются для различных значений параметра $\lambda$. Для более быстрой интеграции следует выбрать соответствующий решатель на основе значения $\lambda$.

Для $\lambda \mathrm{=}$1 любой из решателей ODE MATLAB может эффективно решить уравнение ван дер Пол. ode45 одним из таких примеров является решатель. Уравнение решается в области $\left[\mathrm{}\mathrm{0,20}\right]$ с начальными условиями $\mathit{y}\mathrm{(}0)\mathrm{}$= 2 $\frac{\mathrm{и}}{\mathrm{}}{}_{\mathit{}\mathrm{}}dydt\; \text{'}t\mathrm{}$= 0 = 0.

tspan = [0 20];
y0 = [2; 0];
Mu = 1;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode45(ode, tspan, y0);

% Plot solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')

При больших значениях $\lambda$проблема становится жесткой. Эта метка предназначена для проблем, которые противостоят попыткам быть оцененными обычными методами. Вместо этого для быстрой интеграции необходимы специальные числовые методы. ode15s, ode23s, ode23t, и ode23tb функции могут эффективно решать сложные задачи.

Это решение уравнения van der Pol для $\lambda \mathrm{=}$ 1000 используетode15s с теми же начальными условиями. Вы должны растянуть временной интервал до $\left[\mathrm{}\mathrm{0,3000}\right]$, чтобы иметь возможность видеть периодическое движение решения.

tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);
[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0);

plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')

Проблемы с граничными значениями

bvp4c и bvp5c решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примерная функция twoode имеет дифференциальное уравнение, записанное как система двух ОДУ первого порядка. Дифференциальное уравнение

type twoode

function dydx = twoode(x,y)
%TWOODE  Evaluate the differential equations for TWOBVP.
%
%   See also TWOBC, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydx = [ y(2); -abs(y(1)) ];

Функция twobc имеет граничные условия для задачи: $\mathit{y}\mathrm{(}0)\mathrm{}$= 0 $\mathit{}и\mathrm{}y(4$) = -2.

type twobc

function res = twobc(ya,yb)
%TWOBC  Evaluate the residual in the boundary conditions for TWOBVP.
%
%   See also TWOODE, TWOBVP.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

res = [ ya(1); yb(1) + 2 ];

Перед вызовом bvp4c, вы должны предоставить предположение для решения, которое вы хотите представить в сетке. Затем решатель адаптирует сетку при уточнении решения.

bvpinit функция собирает начальное предположение в форме, которую можно передать решателю bvp4c. Для сетки из [0 1 2 3 4] и постоянные догадки о $\mathit{y}\mathit{(}x)\mathrm{}$= 1 $\mathrm{и}\mathit{y}\text{'}\mathrm{(}$x) = 0, вызовbvpinit является:

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);

С помощью этого начального предположения, вы можете решить проблему с bvp4c. Оценка решения, возвращенного bvp4c в некоторых точках с использованием deval, а затем постройте график результирующих значений.

sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit);

xint = linspace(0, 4, 50);
yint = deval(sol, xint);
plot(xint, yint(1,:));
xlabel('x')
ylabel('solution y')
hold on

Эта конкретная краевая задача имеет ровно два решения. Можно получить другое решение, изменив начальные догадки на $\mathit{y}\mathit{(}x)\mathrm{=}$ -1 $\mathrm{и}\mathit{y}\text{'}\mathrm{(}$x) = 0.

solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);
sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);

xint = linspace(0,4,50);
yint = deval(sol,xint);
plot(xint,yint(1,:));
legend('Solution 1','Solution 2')
hold off

Дифференциальные уравнения задержки

dde23, ddesd, и ddensd решить дифференциальные уравнения задержки с различными задержками. Примеры ddex1, ddex2, ddex3, ddex4, и ddex5 создайте мини-учебное пособие по использованию этих решателей.

ddex1 Пример показывает, как решить систему дифференциальных уравнений

Эти уравнения можно представить с помощью анонимной функции

ddex1fun = @(t,y,Z) [Z(1,1); Z(1,1)+Z(2,2); y(2)];

История проблемы (для $\mathit{}\mathrm{t\le 0}$) постоянна:

Историю можно представить в виде вектора.

ddex1hist = ones(3,1);

Двухэлементный вектор представляет задержки в системе уравнений.

lags = [1 0.2];

Передайте функцию, задержки, историю решения и интервал интегрирования $\left[\mathrm{}\mathrm{0,5}\right]$ решателю в качестве входных данных. Решатель создает непрерывное решение на всем интервале интегрирования, которое подходит для печати.

sol = dde23(ddex1fun, lags, ddex1hist, [0 5]);

plot(sol.x,sol.y);
title({'An example of Wille and Baker', 'DDE with Constant Delays'});
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Дифференциальные уравнения в частных производных

pdepe решает дифференциальные уравнения в частных производных в одной переменной пространства и времени. Примеры pdex1, pdex2, pdex3, pdex4, и pdex5 сформировать мини-учебное пособие по использованию pdepe.

В этом примере проблема использует функции pdex1pde, pdex1ic, и pdex1bc.

pdex1pde определяет дифференциальное уравнение

type pdex1pde

function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx)
%PDEX1PDE  Evaluate the differential equations components for the PDEX1 problem.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

c = pi^2;
f = DuDx;
s = 0;

pdex1ic устанавливает начальное условие

type pdex1ic

function u0 = pdex1ic(x)
%PDEX1IC  Evaluate the initial conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

u0 = sin(pi*x);

pdex1bc устанавливает граничные условия

type pdex1bc

function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t)
%PDEX1BC  Evaluate the boundary conditions for the problem coded in PDEX1.
%
%   See also PDEPE, PDEX1.

%   Lawrence F. Shampine and Jacek Kierzenka
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

pl = ul;
ql = 0;
pr = pi * exp(-t);
qr = 1;

pdepe требуется пространственная дискретизация x и вектор времени t (при котором требуется создать снимок решения). Решите проблему с помощью сетки из 20 узлов и запросите решение с пятью значениями t. Извлеките и постройте график первого компонента раствора.

x = linspace(0,1,20);
t = [0 0.5 1 1.5 2];
sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t);

u1 = sol(:,:,1);

surf(x,t,u1);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u');