Документация

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) содержит одну или более производных зависимой переменной, y, относительно единственной независимой переменной, t, обычно называемой временем. Обозначение, используемое здесь для представления производных y относительно t, является $$y$$'для первой производной, $$y"$$для второй производной и так далее. Порядок ОДУ равен производной y высшего порядка, которая появляется в уравнении.

Например, это ОДУ второго порядка:

В задаче начального значения ОДУ решают, начиная с начального состояния. Используя исходное условие $${}_{\mathrm{y0}}$$, а также период времени, в течение которого должен быть получен ответ (t0, $${}_{\mathrm{}}{}_{}tf$$), решение получается итеративно. На каждом шаге решатель применяет определенный алгоритм к результатам предыдущих шагов. На первом таком этапе начальное условие предоставляет необходимую информацию, которая позволяет продолжить интеграцию. В результате решатель ОДУ возвращает вектор временных шагов $$t{=}_{\mathrm{}}[{}_{\mathrm{t0}},{}_{\mathrm{}}t1\mathrm{,}t2{,}_{.}.$$., tf], а также соответствующее решение на каждом $${}_{\mathrm{шаге}}{y}_{\mathrm{}}={}_{\mathrm{[}}\mathrm{y0,}{\mathrm{y1}}_{,}$$y2,..., yf].

Типы ОДУ

Решатели ОДУ в MATLAB ® решают следующие типы ОДУ первого порядка:

Дополнительную информацию о некоторых типах проблем можно предоставить решателю с помощью odeset для создания структуры опций.

Системы ОДУ

Можно задать любое количество связанных уравнений ОДУ для решения, и в принципе число уравнений ограничено только доступной компьютерной памятью. Если система уравнений имеет n уравнений,

затем функция, которая кодирует уравнения, возвращает вектор с n элементами, соответствующими значениям для $$y{}_{\mathrm{\text{'}}}1\text{,}{y}_{\mathrm{\text{'}}}\text{2}\text{,}.\text{.}.\text{,}{}_{}$$y 'n. Например, рассмотрим систему двух уравнений

Функция, которая кодирует эти уравнения

function dy = myODE(t,y)
dy(1) = y(2);
dy(2) = y(1)*y(2)-2;

ODE более высокого порядка

Решатели ODE MATLAB решают только уравнения первого порядка. Необходимо переписать ODE более высокого порядка как эквивалентную систему уравнений первого порядка с использованием общих замен.

Результатом этих замен является система n уравнений первого порядка

Например, рассмотрим ОДУ третьего порядка

Использование замен

результаты в эквивалентной системе первого порядка

Код для этой системы уравнений

function dydt = f(t,y)
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = y(3);
dydt(3) = y(1)*y(3)-1;

Комплексные ОДУ

Рассмотрим комплексное уравнение ОДУ

где $$y{=}_{\mathrm{}}\mathrm{y1}{}_{\mathrm{+}}$$iy2. Чтобы решить его, разделите действительную и мнимую части на различные компоненты решения, а затем рекомбинируйте результаты в конце. Концептуально это выглядит как

Например, если значение ODE равно $$y\text{'}=\mathrm{yt}$$+ 2i, то уравнение можно представить с помощью файла функции.

function f = complexf(t,y)
% Define function that takes and returns complex values
f = y.*t + 2*i;

Затем код для разделения действительной и мнимой частей

function fv = imaginaryODE(t,yv)
% Construct y from the real and imaginary components
y = yv(1) + i*yv(2);            

% Evaluate the function
yp = complexf(t,y);             

% Return real and imaginary in separate components
fv = [real(yp); imag(yp)];      

При запуске решателя для получения решения начальное условие y0 также разделена на действительную и мнимую части для обеспечения начального условия для каждого компонента решения.

y0 = 1+i;
yv0 = [real(y0); imag(y0)];
tspan = [0 2];
[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

Как только вы получите решение, объедините вещественные и мнимые компоненты вместе, чтобы получить конечный результат.

y = yv(:,1) + i*yv(:,2);

Основной выбор решателя

ode45 хорошо работает с большинством проблем ОДУ и, как правило, должен быть первым выбором решателя. Однако ode23 и ode113 может быть более эффективным, чем ode45 для проблем с меньшими или более жесткими требованиями к точности.

Некоторые проблемы ОДУ проявляют жесткость или затрудняют оценку. Жесткость - это термин, который бросает вызов точному определению, но в целом жесткость возникает, когда существует разница в масштабировании где-то в проблеме. Например, если ОДУ имеет два компонента решения, которые изменяются в резко различных временных масштабах, то уравнение может быть жестким. Можно определить проблему как жесткую, если решатели nonstiff (например, ode45) не могут решить проблему или работают крайне медленно. Если вы видите, что некомпетентный решатель работает очень медленно, попробуйте использовать жесткий решатель, такой как ode15s вместо этого. При использовании жесткого решателя можно повысить надежность и эффективность, предоставив матрицу Якобиана или ее узор разреженности.

В этой таблице приведены общие рекомендации по использованию каждого из различных решателей.

Для получения дополнительной информации и рекомендаций относительно использования каждого решателя см. [5].

Резюме примеров и файлов ОДУ

Существует несколько примеров файлов, которые служат отличными отправными точками для большинства проблем с ОДУ. Чтобы запустить приложение «Примеры дифференциальных уравнений», которое позволяет легко просматривать и запускать примеры, введите

odeexamples

Чтобы открыть отдельный файл примера для редактирования, введите

edit exampleFileName.m

Для запуска примера введите

exampleFileName

В этой таблице содержится список доступных файлов примеров ODE и дисковых полок, а также используемых ими решателей и опций. Ссылки включены для подмножества примеров, которые также публикуются непосредственно в документации.