Пример: функция абсолютного значения

Рассмотрим проблему с начальным значением

решается на интервале $$[\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{0,40}]$$ с начальным условием $$y\mathrm{(}0)\mathrm{}$$= 1. Раствор этого ОДУ распадается до нуля. Если решатель выдает отрицательное значение решения, то он начинает отслеживать решение ОДУ через это значение, и вычисление в конечном итоге терпит неудачу, так как вычисленное решение расходится $$до$$- ∞. Использование NonNegative предотвращает этот сбой интеграции.

Сравните аналитический раствор $$y(t){}^{=}$$e-t с раствором ОДУ с помощьюode45 без дополнительных опций и до одного с NonNegative набор опций.

ode = @(t,y) -abs(y);

% Standard solution with |ode45|
options1 = odeset('Refine',1);
[t0,y0] = ode45(ode,[0 40],1,options1);

% Solution with nonnegative constraint
options2 = odeset(options1,'NonNegative',1);
[t1,y1] = ode45(ode,[0 40],1,options2);

% Analytic solution
t = linspace(0,40,1000);
y = exp(-t);

Постройте график трех решений для сравнения. Навязывание неотрицательности имеет решающее значение, чтобы удержать решение от отхода к $$-$$∞.

plot(t,y,'b-',t0,y0,'ro',t1,y1,'k*');
legend('Exact solution','No constraints','Nonnegativity', ...
       'Location','SouthWest')

Пример: Проблема с коленом

Другим примером проблемы, требующей неотрицательного решения, является проблема с коленом, закодированная в файле примера. kneeode. Уравнение:

решается на интервале $$[\mathrm{}\mathrm{0,2}]$$ с начальным условием $$y\mathrm{(}0)\mathrm{}$$= 1. Параметр $$$$ϵ обычно принимается для $$\mathrm{}удовлетворения\mathrm{}$$0<ϵ≪1, и эта проблема $$использует\mathrm{}\mathrm{}{\mathrm{}}^{\mathrm{}}$$ϵ=1×10-6. Решение этой ОДУ $$приближается\; к\mathrm{}y$$= 1-x $$\mathrm{}$$для x < $$1\mathrm{}$$и y $$=\mathrm{}$$0 для x > 1. Однако вычисление численного решения с допусками по умолчанию показывает, что решение $$\mathrm{}$$следует за изоклинией y = 1-x для всего интервала интегрирования. Наложение ограничений неотрицательности приводит к правильному решению.

Решите проблему коленного сустава с ограничениями, связанными с неотрицательностью, и без них.

epsilon = 1e-6;
y0 = 1;
xspan = [0 2];
odefcn = @(x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;

% Solve without imposing constraints
[x1,y1] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);

% Impose a nonnegativity constraint
options = odeset('NonNegative',1);
[x2,y2] = ode15s(@(x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);

Постройте график решений для сравнения.

plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'b*')
axis([0,2,-1,1])
title('The "knee problem"')
legend('No constraints','Non-negativity')
xlabel('x')
ylabel('y')

Ссылки

[1] Шампин, Л. Ф., С. Томпсон, Дж. А. Кирзенка и Г. Д. Бирн, «Неотрицательные решения ОДУ», Прикладная математика и вычисления том 170, 2005, стр. 556-569.