Пример: Nonstiff ван дер Пол Уравнение

Уравнение ван дер Пол является ОДУ второго порядка

где - скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка, произведя подстановку. Результирующей системой ОДУ первого порядка является

Система ОДУ должна быть закодирована в функциональный файл, который может использоваться решателем ОДУ. Общая функциональная сигнатура функции ОДУ:

  dydt = odefun(t,y)

То есть функция должна принимать оба t и y в качестве входных данных, даже если он не использует t для любых вычислений.

Файл функций vdp1.m кодирует уравнение ван дер Пол с помощью. Переменные и представлены y(1) и y(2)и вектор двухэлементного столбца dydt содержит выражения для и.

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Решить ОДУ с помощью ode45 функция на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Выходные данные представляют собой вектор столбца точек времени t и массив решений y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует, а второй столбец -.

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

Постройте график решений для и против t.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) using ODE45');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

vdpode функция решает ту же задачу, но принимает заданное пользователем значение для. Уравнения ван дер Пол становятся жесткими по мере увеличения. Например, со значением необходимо использовать жесткий решатель, такой как ode15s для решения системы.

Пример: Уравнения Нестифа Эйлера

Уравнения Эйлера для жесткого тела без внешних сил являются стандартной тестовой задачей для решателей ОДУ, предназначенных для нетипичных задач.

Уравнения:

Файл функций rigidode определяет и решает эту систему уравнений первого порядка за интервал времени [0 12], используя вектор исходных условий [0; 1; 1] соответствующие начальным значениям,, и. Локальная функция f(t,y) кодирует систему уравнений.

rigidode требования ode45 без выходных аргументов, поэтому решатель использует функцию вывода по умолчанию odeplot для автоматического построения графика точек решения после каждого шага.

function rigidode
%RIGIDODE  Euler equations of a rigid body without external forces.
%   A standard test problem for non-stiff solvers proposed by Krogh.  The
%   analytical solutions are Jacobian elliptic functions, accessible in
%   MATLAB.  The interval here is about 1.5 periods; it is that for which
%   solutions are plotted on p. 243 of Shampine and Gordon.
%
%   L. F. Shampine and M. K. Gordon, Computer Solution of Ordinary
%   Differential Equations, W.H. Freeman & Co., 1975.
%
%   See also ODE45, ODE23, ODE113, FUNCTION_HANDLE.

%   Mark W. Reichelt and Lawrence F. Shampine, 3-23-94, 4-19-94
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

tspan = [0 12];
y0 = [0; 1; 1];

% solve the problem using ODE45
figure;
ode45(@f,tspan,y0);

% --------------------------------------------------------------------------

function dydt = f(t,y)
dydt = [    y(2)*y(3)
   -y(1)*y(3)
   -0.51*y(1)*y(2) ];

Решить nonstiff Эйлер уравнения, вызвав rigidode функция.

rigidode
title('Solution of Rigid Body w/o External Forces using ODE45')
legend('y_1','y_2','y_3','Location','Best')