Что значит найти n-й корень 1?

Добавьте уравнения, чтобы объяснить базовую математику для понятий, которые вы хотите учить. Чтобы добавить уравнение, перейдите на вкладку «Вставка» и нажмите кнопку «Уравнение». Затем выберите символы и структуры на вкладке «Уравнение».

Сегодня мы поговорим о поиске корней 1. Что значит найти n-й корень 1? N-е корни 1 - это решения уравнения ${\mathit{}}^{\mathit{xn}}\mathrm{-}1$ = 0.

Для квадратных корней это легко. Значения x $\mathit{}=\sqrt{\mathrm{}}\pm 1$= ± 1. Для корней более высокого порядка это становится немного сложнее. Чтобы найти кубические корни 1, нам нужно решить ${\mathit{}}^{\mathrm{}}\mathrm{}уравнение\mathrm{}$x3 − 1 = 0. Мы можем факторировать это уравнение, чтобы получить

Первый корень куба равен 1. Теперь мы можем использовать квадратичную формулу для получения второго и третьего кубических корней.

Вычисление корней куба

Для выполнения отдельных разделов кода MATLAB перейдите на вкладку Live Editor и нажмите кнопку Run Section. Выходные данные отображаются вместе с кодом, который их создал. Создайте сечения с помощью кнопки «Разрыв сечения».

В нашем случае a, b и c равны 1. Два других корня вычисляются по следующим формулам:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Таким образом, полный набор корней куба 1:

disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 + 0.8660i

Отображение корней в комплексной плоскости

Включите графики в Live Editor, чтобы студенты могли визуализировать важные понятия.

Мы можем визуализировать корни в сложной плоскости, чтобы увидеть их местоположение.

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Поиск корней более высокого порядка

Чтобы добавить вспомогательную информацию, перейдите на вкладку «Вставка» и нажмите кнопки «Гиперссылка» и «Изображение». Студенты могут использовать вспомогательную информацию для изучения лекций вне класса.

Как только вы проходите через $$n\mathrm{=}$$3, все становится еще сложнее. Для 4-х корней мы могли бы использовать квартическую формулу, открытую Лодовико Феррари в 1540 году. Но эта формула длинна и громоздка, и не помогает нам найти корни выше 4. К счастью, есть лучший способ, благодаря французскому математику XVII века по имени Авраам де Мойвр.

Абрахам де Мойвр родился в Витри в Шампани 26 мая 1667 года. Он был современником и другом Исаака Ньютона, Эдмунда Галли и Джеймса Стирлинга. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Он наиболее известен теоремой де Мойвра, которая связывает комплексные числа и тригонометрию, и своими работами по нормальному распределению и теории вероятностей. Де Мойвр написал книгу по теории вероятностей «Доктрина шансов», которая, как говорят, была оценена игроками. Де Муавр сначала обнаружил формулу Бинета, выражение закрытой формы для Чисел Фибоначчи, связывающих энную власть золотого отношения φ к энному Числу Фибоначчи. Он также первым постулировал Центральную предельную теорему, краеугольный камень теории вероятностей.

теорема де Мойвра утверждает, что для любого вещественного x и любого целого n,

Как это помогает нам решить нашу проблему? Мы также знаем, что для любого целого k,

Таким образом, по теореме де Мойвра мы получаем

Вычисление n-го корня 1

Используйте Live Editor, чтобы экспериментировать с кодом MATLAB в интерактивном режиме. Добавьте элементы управления, чтобы показать учащимся, как важные параметры влияют на анализ. Чтобы добавить элементы управления, перейдите на вкладку «Интерактивный редактор», нажмите кнопку «Управление» и выберите один из доступных параметров.

Мы можем использовать это последнее уравнение, чтобы найти n корней 1. Например, для любого значения n можно использовать приведенную выше формулу со значениями $\mathit{k}\mathrm{=}\mathit{0}.\mathrm{.}$. n − 1. Мы можем использовать этот код MATLAB для эксперимента с различными значениями n:

n = 6;
roots = zeros(1, n);
for k = 0:n-1
    roots(k+1) = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);    % Calculate the roots
end
disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.8660i
   0.5000 + 0.8660i

Построение корней в комплексной плоскости показывает, что корни равномерно разнесены вокруг единичной окружности с интервалами $\mathrm{}2\delta /n\mathit{.}$

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Поиск n-го корня -1, i и -i

Используйте дополнительные примеры для укрепления важных концепций. Изменение кода во время лекции, чтобы ответить на вопросы или изучить идеи более подробно.

Мы можем найти корни -1, i и -i, используя расширения описанного выше подхода. Если мы посмотрим на единичную окружность, мы увидим, что значения 1, i, -1, -i появляются под углами $0$, $\mathrm{\delta /2}$, $\lambda$и $\mathrm{}\mathrm{3\lambda /2}$ соответственно.

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels
text(x(2),y(2)+0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

Зная это, мы можем написать следующее выражение для i:

Взятие n-го корня обеих сторон дает

и по теореме де Мойвра мы получаем

Домашняя работа

Использование сценариев в реальном времени в качестве основы для назначений. Дайте студентам живой сценарий, использованный в лекции, и попросите их выполнить упражнения, которые проверят их понимание материала.

Используйте описанные выше методы для выполнения следующих упражнений:

Упражнение 1: Напишите код MATLAB для вычисления 3 кубических корней i.

% Put your code here

Упражнение 2: Запишите код MATLAB, чтобы вычислить 5 пятых корней -1.

% Put your code here

Упражнение 3: Опишите математический подход, который можно использовать для вычисления n-го корня произвольного комплексного числа. Включите уравнения, которые вы использовали в своем подходе.

(Опишите свой подход здесь)