Уравновесить матрицу с большим числом условий для повышения эффективности и стабильности решения линейной системы с помощью итерационного решателя gmres.

Загрузить west0479 матрица, которая является вещественно-значной 479 на 479 разреженной матрицей. Использовать condest для вычисления расчетного номера условия матрицы.

load west0479
A = west0479;
c1 = condest(A)

c1 = 1.4244e+12

Попробуйте решить линейную систему $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b с помощьюgmres с 450 итерациями и допуском 1e-11. Укажите пять выходов так, чтобы gmres возвращает остаточные нормы решения при каждой итерации (используя ~ для подавления ненужных выходов). Постройте график остаточных норм на полулогом графике. Сюжет показывает, что gmres не может достичь разумной остаточной нормы, и поэтому вычисленное решение для $\mathit{x}$ не является надежным.

b = ones(size(A,1),1);
tol = 1e-11;
maxit = 450;
[x,flx,~,~,rvx] = gmres(A,b,[],tol,maxit);
semilogy(rvx)
title('Residual Norm at Each Iteration')

Использовать equilibrate для перестановки и масштабирования A. Создание новой матрицы B = R*P*A*C, который имеет лучший номер условия и диагональные записи только 1 и -1.

[P,R,C] = equilibrate(A);
B = R*P*A*C;
c2 = condest(B)

c2 = 5.1036e+04

Использование выходных данных, возвращаемых equilibrate, можно переформулировать задачу $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b $\mathrm{в}\mathit{By}$= d, $\mathit{}\mathrm{где\; B}$ = $\mathit{RPAC}\mathrm{и}$d = RPb. В этой форме можно восстановить решение в исходной $\mathit{}системе\mathrm{}$с x = Cy.

Использовать gmres чтобы решить $\mathrm{By}\mathit{=}$ d $\mathit{для}$y, а затем повторить остаточные нормы на каждой итерации. График показывает, что уравновешивание матрицы улучшает стабильность задачи, сgmres схождение к требуемому допуску 1e-11 менее чем за 200 итераций.

d = R*P*b;
[y,fly,~,~,rvy] = gmres(B,d,[],tol,maxit);
hold on
semilogy(rvy)
legend('Original', 'Equilibrated', 'Location', 'southeast')
title('Relative Residual Norms (No Preconditioner)')
hold off

semilogy(rvy)
hold on

[L1,U1] = ilu(B,struct('type','ilutp','droptol',1e-1,'thresh',0));
[yp1,flyp1,~,~,rvyp1] = gmres(B,d,[],tol,maxit,L1,U1);
semilogy(rvyp1)

[L2,U2] = ilu(B,struct('type','ilutp','droptol',1e-2,'thresh',0));
[yp2,flyp2,~,~,rvyp2] = gmres(B,d,[],tol,maxit,L2,U2);
semilogy(rvyp2)

legend('No preconditioner', 'ILUTP(1e-1)', 'ILUTP(1e-2)')
title('Relative Residual Norms with ILU Preconditioner (Equilibrated)')
hold off