Декомпозиция обобщенного сингулярного значения
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) возвращает унитарные матрицы U и V, (обычно) квадратная матрица Xи неотрицательные диагональные матрицы C и S чтобы
A = U*C*X' B = V*S*X' C'*C + S'*S = I
A и B должен иметь одинаковое количество столбцов, но может иметь разное количество строк. Если A является mоколо-p и B является nоколо-p, то U является mоколо-m, V является nоколо-n, X является pоколо-q, C является mоколо-q и S является nоколо-q, где q = min(m+n,p).
Ненулевые элементы S всегда находятся на его главной диагонали. Ненулевые элементы C находятся на диагонали diag(C,max(0,q-m)). Если m >= q, это основная диагональ C.
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0), где A является mоколо-p и B является nоколо-p, производит «экономичное» разложение, где U и V иметь не более p столбцы, и C и S иметь не более p строк. Обобщенные сингулярные значения diag(C)./diag(S) до тех пор, пока m >= p и n >= p.
Если A является mоколо-p и B является nоколо-p, то U является mоколо-min(q,m), V является nоколо-min(q,n), X является pоколо-q, C является min(q,m)около-q и S является min(q,n)около-q, где q = min(m+n,p).
sigma = gsvd(A,B) возвращает вектор обобщенных сингулярных значений, sqrt(diag(C'*C)./diag(S'*S)). Когда B является квадратным и несингулярным, обобщенные сингулярные значения, gsvd(A,B), соответствуют обычным сингулярным значениям, svd(A/B), но они отсортированы в обратном порядке. Их взаимность gsvd(B,A).
Вектор sigma имеет длину q и находится в неубывающем порядке.
Матрицы имеют, по крайней мере, столько строк, сколько столбцов.
A = reshape(1:15,5,3)
B = magic(3)
A =
1 6 11
2 7 12
3 8 13
4 9 14
5 10 15
B =
8 1 6
3 5 7
4 9 2Заявление
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
создает ортогональный 5 на 5 U, ортогональный 3 на 3 V, nonsingular 3 на 3 X,
X =
2.8284 -9.3761 -6.9346
-5.6569 -8.3071 -18.3301
2.8284 -7.2381 -29.7256и
C =
0.0000 0 0
0 0.3155 0
0 0 0.9807
0 0 0
0 0 0
S =
1.0000 0 0
0 0.9489 0
0 0 0.1957С тех пор A является дефицитом ранга, первым диагональным элементом C равно нулю.
Разложение по размеру экономики,
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
создает матрицу 5 на 3 U и матрица 3 на 3 C.
U =
0.5700 -0.6457 -0.4279
-0.7455 -0.3296 -0.4375
-0.1702 -0.0135 -0.4470
0.2966 0.3026 -0.4566
0.0490 0.6187 -0.4661
C =
0.0000 0 0
0 0.3155 0
0 0 0.9807Остальные три матрицы, V, X, и S те же, что получены при полном разложении.
Обобщённые сингулярные значения являются соотношениями диагональных элементов C и S.
sigma = gsvd(A,B)
sigma =
0.0000
0.3325
5.0123Эти значения являются переупорядочением обычных сингулярных значений
svd(A/B)
ans =
5.0123
0.3325
0.0000Матрицы содержат по крайней мере столько столбцов, сколько строк.
A = reshape(1:15,3,5)
B = magic(5)
A =
1 4 7 10 13
2 5 8 11 14
3 6 9 12 15
B =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9Заявление
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
создает ортогональный 3 на 3 U, ортогональный 5 на 5 V, nonsingular 5 на 5 X и
C =
0 0 0.0000 0 0
0 0 0 0.0439 0
0 0 0 0 0.7432
S =
1.0000 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0
0 0 1.0000 0 0
0 0 0 0.9990 0
0 0 0 0 0.6690В этой ситуации ненулевая диагональ C является diag(C,2). Обобщенные сингулярные значения включают три нуля.
sigma = gsvd(A,B)
sigma =
0
0
0.0000
0.0439
1.1109Изменение роли A и B возвратно-поступательно эти значения, создавая две бесконечности.
gsvd(B,A)
ans =
1.0e+16 *
0.0000
0.0000
8.8252
Inf
InfВ этой формулировке gsvd, никаких предположений об отдельных званиях A или B. Матрица X имеет полный ранг тогда и только тогда, когда матрица [A;B] имеет полное звание. Действительно, svd(X) и cond(X) равны svd([A;B]) и cond([A;B]). Другие составы, например G. Golub и C. Van Loan [1], требуют, чтобы null(A) и null(B) не перекрывать и не заменять X около inv(X) или inv(X').
Однако обратите внимание, что когда null(A) и null(B) перекрывать, ненулевые элементы C и S не определены однозначно.
Обобщенное сингулярное разложение использует разложение C-S, описанное в [1], а также встроенное svd и qr функции. Разложение C-S реализовано в локальной функции в gsvd файл программы.
[1] Голуб, Джин Х. и Чарльз Ван Займ, Matrix Computations, третье издание, Johns Hopkins University Press, Балтимор, 1996