Документация

Квадратичная проблема с ограничениями

Предположим, что ваша проблема имеет форму

подлежит

где 1 ≤ i ≤ m Предположим, что по меньшей мере один _Hi является ненулевым; в противном случае можно использовать quadprog или linprog для решения этой проблемы. При ненулевом _Hi ограничения нелинейны, что означает fmincon является подходящим решателем в соответствии с таблицей решений оптимизации.

В примере предполагается, что квадратичные матрицы симметричны без потери общности. Несимметричную матрицу H (или Q) можно заменить эквивалентной симметричной версией (H + ^HT )/2.

Если x имеет N компонентов, то Q и _Hi являются N-на-N матрицами, f и _ki являются N-by-1 векторами, а c и _di являются скалярами.

Целевая функция

Сформулировать проблему с помощью fmincon синтаксис. Предположим, что x и f являются векторами столбцов. (x - вектор столбца, когда начальный вектор x0 является вектором столбца.)

function [y,grady] = quadobj(x,Q,f,c)
y = 1/2*x'*Q*x + f'*x + c;
if nargout > 1
    grady = Q*x + f;
end

Функция ограничения

Для обеспечения согласованности и простоты индексирования поместите каждую квадратную матрицу ограничений в один массив ячеек. Аналогично, поместите линейные и постоянные члены в массивы ячеек.

function [y,yeq,grady,gradyeq] = quadconstr(x,H,k,d)
jj = length(H); % jj is the number of inequality constraints
y = zeros(1,jj);
for i = 1:jj
    y(i) = 1/2*x'*H{i}*x + k{i}'*x + d{i};
end
yeq = [];
    
if nargout > 2
    grady = zeros(length(x),jj);
    for i = 1:jj
        grady(:,i) = H{i}*x + k{i};
    end
end
gradyeq = [];

Числовой пример

Предположим, что у вас есть следующая проблема.

Q = [3,2,1;
     2,4,0;
     1,0,5];
f = [-24;-48;-130];
c = -2;

rng default % For reproducibility
% Two sets of random quadratic constraints:
H{1} = gallery('randcorr',3); % Random positive definite matrix
H{2} = gallery('randcorr',3);
k{1} = randn(3,1);
k{2} = randn(3,1);
d{1} = randn;
d{2} = randn;

Мешковина

Создайте функцию Гессена. Гессен лагранжиана задаётся уравнением

fmincon вычисляет приблизительное множество множителей Лагранжа _{λ i} и упаковывает их в структуру. Для включения гессенского используйте следующую функцию.

function hess = quadhess(x,lambda,Q,H)
hess = Q;
jj = length(H); % jj is the number of inequality constraints
for i = 1:jj
    hess = hess + lambda.ineqnonlin(i)*H{i};
end

Решение

Используйте fmincon interior-point алгоритм наиболее эффективного решения проблемы. Этот алгоритм принимает функцию Гессена, которую вы предоставляете. Задайте эти параметры.

options = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true,...
    'HessianFcn',@(x,lambda)quadhess(x,lambda,Q,H));

Звонить fmincon для решения проблемы.

fun = @(x)quadobj(x,Q,f,c);
nonlconstr = @(x)quadconstr(x,H,k,d);
x0 = [0;0;0]; % Column vector
[x,fval,eflag,output,lambda] = fmincon(fun,x0,...
    [],[],[],[],[],[],nonlconstr,options);

Проверьте множители Лагранжа.

lambda.ineqnonlin

ans =

   12.8412
   39.2337

Оба нелинейных множителя неравенства ненулевые, поэтому оба квадратичных ограничения активны в решении.

Эффективность при предоставлении гессена

Алгоритм внутренней точки с градиентами и гессенским является эффективным. Просмотр количества аналитических отчетов по функциям.

output

output = 

         iterations: 9
          funcCount: 10
    constrviolation: 0
           stepsize: 5.3547e-04
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 1.5851e-05
       cgiterations: 0
            message: 'Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization compl...'

fmincon для решения проблемы требуется всего 10 оценок функций.

Сравните этот результат с решением без гессенского.

options.HessianFcn = [];
[x2,fval2,eflag2,output2,lambda2] = fmincon(fun,[0;0;0],...
    [],[],[],[],[],[],nonlconstr,options);
output2

output2 = 

         iterations: 17
          funcCount: 22
    constrviolation: 0
           stepsize: 2.8475e-04
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 1.7680e-05
       cgiterations: 0
            message: 'Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization compl...'

В этом случае fmincon занимает примерно в два раза больше итераций и оценок функций. Решения те же, что и в пределах допусков.

Расширение ограничений квадратичного равенства

Если также имеются квадратичные ограничения равенства, можно использовать по существу тот же метод. Проблема та же, с дополнительными ограничениями

Переформулируйте ограничения, чтобы использовать переменные _Ji, _pi и _qi. lambda.eqnonlin(i) структура имеет множители Лагранжа для ограничений равенства.