Решение полной матричной системы

Сначала определите матрицу коэффициентов $\mathit{А}$ как переменную в памяти клиента, A, а затем передать эту матрицу в distributed для создания распределенной версии той же матрицы, ADist. При использовании distributed функция MATLAB автоматически запускает параллельный пул с использованием настроек кластера по умолчанию.

n = 1e3;
A = randi(100,n,n);
ADist = distributed(A);

Теперь можно определить правый вектор $$b$$. В этом примере $$b$$ определяется как сумма строк $$A$$, что приводит к точному решению $$\mathrm{Ax}=$$ b $${\mathrm{вида}}_{}xexact\mathrm{}=[1,\mathrm{.}{.}^{.}$$, 1] T.

b = sum(A,2);
bDist = sum(ADist,2);

С тех пор sum действует в распределенном массиве, bDist также распределяется, и его данные хранятся в памяти работников вашего параллельного пула. Наконец, определите точные решения для сравнения с решениями, полученными с помощью прямых численных методов.

xEx = ones(n,1);
xDistEx = ones(n,1,'distributed');

Теперь, когда вы определили свою систему линейных уравнений, вы можете использовать mldivide для непосредственного решения системы. В MATLAB можно вызвать mldivide с помощью специального оператора \. Для решения проблемы распределенной системы не требуется изменять код. mldivide имеет автоматическую поддержку распределенных массивов.

После вычисления решения можно проверить ошибку между каждым элементом полученного результата $\mathit{x}$ и ожидаемыми значениями $${}_{\text{xexact}}$$.

x = A\b;
err = abs(xEx-x);

xDist = ADist\bDist;
errDist = abs(xDistEx-xDist);

figure
subplot(2,1,1)
semilogy(err,'o');
title('System of Linear Equations with Full Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])
subplot(2,1,2)
semilogy(errDist,'o');
title('System of Linear Equations with Distributed Full Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])

Для распределенных массивов и массивов, хранящихся на клиенте, абсолютная ошибка между вычисленными результатами для $\mathit{x}$ и точным результатом $${}_{\text{xexact}}$$ невелика. Точность решения примерно одинакова для обоих типов массивов.

mean(err)

ans = 1.6031e-13

mean(errDist)

ans =

   1.2426e-13

Решение разреженной матричной системы

Распределенные массивы также могут содержать разреженные данные. Для создания матрицы коэффициентов $\mathit{A}$используйте sprand и speye для непосредственного генерирования разреженной матрицы случайных чисел плюс разреженная единичная матрица. Добавление единичной матрицы помогает предотвратить создание $\mathit{A}$ в виде сингулярной или почти сингулярной матрицы, которые трудно факторизировать.

n = 1e3;
density = 0.2;
A = sprand(n,n,density) + speye(n);
ADist = distributed(A);

Выбор вектора правой руки $$b$$ в качестве суммы строк $$A$$ дает точное решение той же формы, что и решение для полной матричной системы.

b = sum(A,2);
bDist = sum(ADist,2);
xEx = ones(n,1);
xDistEx = ones(n,1,'distributed');

Таким же образом, как с полными матрицами, теперь можно решить эту систему линейных уравнений непосредственно с помощью mldivide и проверьте погрешность между полученным результатом и его ожидаемым значением.

x = A\b;
err = abs(xEx-x);

xDist = ADist\bDist;
errDist = abs(xDistEx-xDist);

figure
subplot(2,1,1)
semilogy(err,'o');
title('System of Linear Equations with In-Client Sparse Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])
subplot(2,1,2)
semilogy(errDist,'o');
title('System of Linear Equations with Distributed Sparse Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])

Как и в случае полной матричной системы, решение системы линейных уравнений с использованием как внутриклиентных массивов, так и распределенных массивов дает решения с сопоставимой точностью.

mean(err)

ans = 1.6031e-13

mean(errDist)

ans =

   1.2426e-13

После завершения вычислений можно удалить параллельный пул. gcp функция возвращает текущий объект параллельного пула, чтобы можно было удалить текущий пул.

delete(gcp('nocreate'));

Повышение эффективности решения

Для некоторых типов матрицы A больших и разреженных коэффициентов $\mathit{}$существуют более эффективные методы, чем прямая факторизация для решения ваших систем. В этих случаях итеративные методы могут быть более эффективными при решении вашей системы линейных уравнений. Итеративные методы генерируют ряд приближенных решений, которые сходятся к конечному результату. Пример использования итерационных методов для решения линейных уравнений с большими разреженными входными матрицами см. в разделе Использование распределенных массивов для решения систем линейных уравнений с помощью итеративных методов.