В этом примере показан эффект кожи, когда провод с круглым поперечным сечением переносит переменный ток. В твердом проводнике, таком как провод, переменный ток перемещается вблизи поверхности провода и избегает области, близкой к центру провода. Этот эффект называется эффектом кожи. В примере используется приложение PDE Modeler.
Уравнение Гельмгольца
Ec=0
описывает распространение электромагнитных волн самолета в несовершенных диэлектриках и хороших проводниках (σ «ωε). Коэффициент диэлектричности (δ = 8,8 * 10-12 F/m). Удельная проводимость меди λ = 57 * 106 См/м. Магнитная проницаемость меди близка к магнитной проницаемости вакуума, λ = 4δ * 10-7 Н/м. При линейной частоте (50 Гц) δ 2-член пренебрежимо мал.
Из-за индукции плотность тока во внутренней части проводника меньше, чем на внешней поверхности, где она установлена на JS = 1. Условие Дирихле для электрического поля - Ec = 1/λ. В этом случае аналитическим решением является
(kR)
Здесь,
j
R - радиус провода, r - расстояние от осевой линии, а J0 (x) - первая функция Бесселя нулевого порядка.
Чтобы решить эту проблему в приложении PDE Modeler, выполните следующие действия:
Нарисуйте окружность радиусом 0,1. Окружность представляет собой поперечное сечение проводника.
pdecirc(0,0.05,0.1)
Задайте предел оси X равным [-0.2 0.2] и предел оси y до [-0.1 0.2]. Для этого выберите Опции (Options) > Границы осей (Axes Limits) и задайте соответствующие диапазоны. Затем выберите «Параметры» > «Оси равны».
Установите режим подачи питания переменного тока электромагнетика.
Задайте граничное условие Дирихле E = JS/λ = 1/λ для границы окружности. Для этого:
Переключитесь в граничный режим, выбрав «Граница» > «Граничный режим».
Выберите все границы с помощью команды «Правка» > «Выделить все».
Выберите «Граница» > «Задать граничные условия».
Определить h = 1 и r = 1/57E6.
Укажите коэффициенты PDE. Для этого переключитесь в режим PDE, выбрав PDE > PDE Mode. Затем выберите PDE > PDE Specification или нажмите кнопку PDE на панели инструментов. Укажите следующие значения:
Угловая частота omega = 2*pi*50
Магнитная проницаемость mu = 4*pi*1E-7
Проводимость sigma = 57E6
Коэффициент диэлектричности epsilon = 8.8E-12
Инициализируйте сетку, выбрав меню «Сетка» > «Инициализировать сетку».
Решите PDE, выбрав Решение (Solve) > Решение PDE (Solve PDE) или нажав кнопку = на панели инструментов.
Решение уравнения электромагнетики мощности переменного тока является сложным. При построении графика решения появляется предупреждающее сообщение.
Постройте график плотности тока как график 3-D. Для этого:
Выберите «Печать» > «Параметры».
Выберите параметры «Цвет и высота» (3-D график).
Выбрать current density в раскрывающемся меню «Свойство» для параметров «Цвет» и «Высота» (3-D печать).
Выберите Показать сетку (Show Mesh), чтобы наблюдать за сеткой.
Из-за эффекта кожи плотность тока на поверхности проводника значительно выше, чем во внутренней части проводника.
Повышение точности решения вблизи поверхности с помощью адаптивного уточнения сетки. Для этого:
Выберите «Решение» > «Параметры».
В открывшемся диалоговом окне выберите «Адаптивный режим».
Установить максимальное количество треугольников в Inf.
Установка максимального количества уточнений 1.
Выберите Worst triangles СПОСОБ ВЫБОРА.
Пересчитайте решение пять раз. Каждый раз адаптивный решатель обновляет область с наибольшими ошибками. Количество треугольников печатается в командной строке.
Постройте график плотности тока как график 3-D.
Эти графики показывают действительную часть решения, но вектор решения является полным комплексным решением. Постройте график мнимой части решения. Для этого:
Выберите «Печать» > «Параметры».
Выберите параметры «Цвет и высота» (3-D график).
Выбрать user entry в раскрывающемся меню «Свойство» для параметров «Цвет» и «Высота» (3-D печать).
Напечатать imag(u) в соответствующих полях ввода пользователя.
Выберите Показать сетку (Show Mesh), чтобы наблюдать за сеткой.
Обратите внимание, что кожный эффект зависит от частоты переменного тока. При увеличении или уменьшении частоты «глубина» кожи увеличивается или уменьшается соответственно. На высоких частотах ток проводит только тонкий слой на поверхности провода. При очень низких частотах (приближающихся к условиям постоянного тока) почти вся площадь поперечного сечения провода проводит ток.
Найти решение для угловых частот omega = 2*pi*1000, omega = 2*pi*50, и omega = 1E-6. Постройте график реальных частей решений в 2-D.
Плотность тока для омега = 2 * pi * 1000
Плотность тока для омега = 2 * pi * 50
Плотность тока для омега = 1E-6
