Матрицы вращения используются для поворота вектора в новом направлении.

При преобразовании векторов в трёхмерном пространстве часто встречаются матрицы вращения. Матрицы вращения используются в двух смыслах: их можно использовать для поворота вектора в новое положение или их можно использовать для поворота базиса координат (или системы координат) в новое. В этом случае вектор остается один, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от компонентов в исходном базисе. В евклидовом пространстве существует три основных вращения: по одному вокруг осей x, y и z. Каждый поворот определяется углом поворота. Угол поворота определяется как положительный для поворота против часовой стрелки, когда наблюдатель смотрит вдоль оси вращения в направлении начала координат. Любое произвольное вращение может быть составлено из комбинации этих трёх (теорема Эйлера о вращении). Например, можно повернуть вектор в любом направлении, используя последовательность из трёх поворотов: $${}^{}{}_{\mathrm{v\prime =Av=Rz}}(\gamma {)}_{}\mathrm{Ry}{(}_{\beta })\mathrm{Rx}$$ (α) v.

Матрицы вращения, которые поворачивают вектор вокруг осей x, y и z, задаются следующим образом:

На следующих трех рисунках показано, как выглядят положительные повороты для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное вращение, удовлетворяющее $$A^{\mathrm{-}}\mathrm{1A}$$= 1. Например, инверсия матрицы вращения по оси X получается изменением знака угла:

Этот пример иллюстрирует основное свойство: матрица обратного поворота является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A 'A = 1 и, следовательно, det (A) = 1. При вращениях сохраняются векторные длины, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях другим способом. Рассмотрим исходный набор базисных векторов, $$i,j,$$k, и поверните их все с помощью матрицы вращения A. Это дает новый набор базисных $${\mathrm{векторов}}^{}i{\prime }^{,}{}^j$$, ′ k ′, связанных с исходным:

С помощью транспонирования можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

С помощью алгебраической манипуляции можно получить преобразование компонентов для фиксированного вектора при повороте базиса (или системы координат). Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

На следующем рисунке показано преобразование вектора при повороте системы координат вокруг оси X. На рисунке ниже показано, как это преобразование можно интерпретировать как вращение вектора в противоположном направлении.