Документация

Определения координат

Построение прямоугольной или декартовой системы координат для трехмерного пространства путем задания трех взаимно ортогональных координатных осей. На следующем рисунке показана одна из возможных спецификаций координатных осей.

Прямоугольные координаты определяют положение в пространстве в заданной системе координат как упорядоченный 3-кортеж вещественных чисел (x, y, z) относительно начала координат (0,0,0). Рекомендации по выбору начала координат рассматриваются в разделе Глобальные и локальные системы координат .

3-кортеж можно рассматривать как точку в пространстве или эквивалентно как вектор в трехмерном евклидовом пространстве. Рассматриваемые как векторное пространство, координатные оси являются базисными векторами, и вектор дает направление к точке в пространстве от начала координат. Каждый вектор в пространстве однозначно определяется линейной комбинацией базисных векторов. Наиболее распространенным набором базисных векторов для трёхмерного евклидова пространства являются стандартные единичные базисные векторы:

Обозначения для векторов и точек

В программе Phased Array System Toolbox™ в качестве векторов столбцов задаются как координатные оси, так и точки.

Векторные обозначения [x y z] и точечные обозначения (x, y, z) используются взаимозаменяемо. Интерпретация вектора-столбца как вектора или точки зависит от контекста. Если вектор столбца определяет оси системы координат или направления, он является вектором. Если вектор столбца определяет координаты, то это точка.

Ортогональный базис и евклидова норма

Любые три линейно независимых вектора определяют основу для трехмерного пространства. Однако это программное обеспечение предполагает, что используемые базисные векторы являются ортогональными.

Стандартной мерой расстояния в пространстве является норма ^l2, или евклидова норма. Евклидова норма вектора [x y z] определяется следующим образом:

Евклидова норма даёт длину вектора, измеренную от начала координат, как гипотенузу прямого треугольника. Расстояние между двумя векторами [_{x0 y0 z0}] и [_{x1 y1 z1}] составляет:

Ориентация координатных осей

Учитывая ортонормированный набор базисных векторов, представляющих координатные оси, существует множество способов ориентации осей. На следующем рисунке показана одна такая ориентация, называемая правой системой координат. Стрелки на координатных осях указывают положительные направления.

Если взять правую руку и указать ее вдоль положительной оси x ладонью, обращенной к положительной оси y, и удлинить большой палец, большой палец указывает положительное направление оси Z.

Матрицы вращений и вращений

При преобразовании векторов в трёхмерном пространстве часто встречаются матрицы вращения. Матрицы вращения используются в двух смыслах: их можно использовать для поворота вектора в новое положение или их можно использовать для поворота базиса координат (или системы координат) в новое. В этом случае вектор остается один, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от компонентов в исходном базисе. В евклидовом пространстве существует три основных вращения: по одному вокруг осей x, y и z. Каждый поворот определяется углом поворота. Угол поворота определяется как положительный для поворота против часовой стрелки, когда наблюдатель смотрит вдоль оси вращения в направлении начала координат. Любое произвольное вращение может быть составлено из комбинации этих трёх (теорема Эйлера о вращении). Например, можно повернуть вектор в любом направлении, используя последовательность из трёх поворотов: $${}^{}{}_{\mathrm{v\prime =Av=Rz}}(\gamma {)}_{}\mathrm{Ry}{(}_{\beta })\mathrm{Rx}$$ (α) v.

Матрицы вращения, которые поворачивают вектор вокруг осей x, y и z, задаются следующим образом:

На следующих трех рисунках показано, как выглядят положительные повороты для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное вращение, удовлетворяющее $$A^{\mathrm{-}}\mathrm{1A}$$= 1. Например, инверсия матрицы вращения по оси X получается изменением знака угла:

Этот пример иллюстрирует основное свойство: матрица обратного поворота является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A 'A = 1 и, следовательно, det (A) = 1. При вращениях сохраняются векторные длины, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях другим способом. Рассмотрим исходный набор базисных векторов, $$i,j,$$k, и поверните их все с помощью матрицы вращения A. Это дает новый набор базисных $${\mathrm{векторов}}^{}i{\prime }^{,}{}^j$$, ′ k ′, связанных с исходным:

С помощью транспонирования можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

С помощью алгебраической манипуляции можно получить преобразование компонентов для фиксированного вектора при повороте базиса (или системы координат). Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

На следующем рисунке показано преобразование вектора при повороте системы координат вокруг оси X. На рисунке ниже показано, как это преобразование можно интерпретировать как вращение вектора в противоположном направлении.