Параметрические методы

Параметрические методы могут давать более высокие разрешения, чем непараметрические методы, в случаях, когда длина сигнала является короткой. Эти методы используют другой подход к спектральной оценке; вместо того, чтобы пытаться оценить PSD непосредственно по данным, они моделируют данные как выходные данные линейной системы, управляемой белым шумом, а затем пытаются оценить параметры этой линейной системы.

Наиболее часто используемой моделью линейной системы является всеполюсная модель, фильтр со всеми ее нулями в начале координат в плоскости Z. Выходом такого фильтра для ввода белого шума является процесс авторегрессии (AR). По этой причине эти способы иногда называют AR-методами спектральной оценки.

Методы AR имеют тенденцию адекватно описывать спектры данных, которые являются «пиковыми», то есть данных, чье PSD велико на определенных частотах. Данные во многих практических применениях (таких как речь) имеют тенденцию иметь «пиковые спектры», так что AR-модели часто полезны. Кроме того, AR-модели приводят к системе линейных уравнений, которую относительно просто решить.

Сигнал, Обрабатывающий методы AR Toolbox™ для спектральной оценки, включает:

Все методы AR дают оценку PSD, заданную

$\overset{}{P}^(f \frac{)}{_{}} \frac{_{}}{{_{}^{} {\overset{}{}}_{} =1Fsεp|1-\sumk=1pa^p^{(k) e -_{}}}^{}}$ j2πkf/Fs | 2.

Различные методы AR оценивают параметры несколько по-разному, давая различные оценки PSD. В следующей таблице представлена сводка различных методов AR.

Методы AR

	Город	Ковариация	Измененная ковариация	Юле-Уокер
Особенности	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Применение окна к данным
Особенности	Минимизирует ошибки прямого и обратного прогнозирования в смысле наименьших квадратов, при этом коэффициенты AR ограничены для удовлетворения рекурсии L-D	Минимизирует ошибку прямого предсказания в смысле наименьших квадратов	Минимизирует ошибки прямого и обратного прогнозирования в смысле наименьших квадратов	Минимизирует ошибку прямого предсказания в смысле наименьших квадратов (также называется «Автокорреляционный метод»)
Преимущества	Высокое разрешение для коротких записей данных	Лучшее разрешение, чем Y-W для коротких записей данных (более точные оценки)	Высокое разрешение для коротких записей данных	Выполняет, а также другие методы для больших записей данных
	Всегда создает стабильную модель	Возможность извлечения частот из данных, состоящих из p или более чистых синусоид	Возможность извлечения частот из данных, состоящих из p или более чистых синусоид	Всегда создает стабильную модель
	Всегда создает стабильную модель		Не страдает спектральным линейным разделением	Всегда создает стабильную модель
Недостатки	Расположение пиков сильно зависит от начальной фазы	Может производить нестабильные модели	Может производить нестабильные модели	Относительно плохо работает для коротких записей данных
	Может страдать спектральное линейное расщепление для синусоид в шуме, или когда порядок очень большой	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Расположение пиков незначительно зависит от начальной фазы	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме
	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Смещение частоты для оценок синусоид в шуме	Малое смещение частоты для оценок синусоид в шуме
Условия несингулярности		Порядок должен быть меньше или равен половине размера входного кадра	Порядок должен быть меньше или равен 2/3 размера входного кадра	Из-за смещенной оценки автокорреляционная матрица гарантированно является положительной-определенной, следовательно, неингулярной.

Метод Юле-Уокера AR

Открыть сценарий в реальном времени

Метод спектральной оценки Юле-Уокера AR вычисляет параметры AR, решая следующую линейную систему, которые дают уравнения Юле-Уокера в матричном виде:

$[\begin{matrix} r (0 & ) r & ( & 1) ⋯r \\ (p-1 & ) r & ( & 1) r ( \\ 0 & ) \\ ⋯r (p-2 & ) & ⋮⋮⋱⋮r & ( \end{matrix} p-1) \begin{matrix} r ( \\ p-2) \\ \dotsr ( \end{matrix} 0)] \begin{matrix} [a \\ (1) \\ a \\ (2) \end{matrix}$ ⋮a (p)] = [r (1) r (2) ⋮r (p)].

На практике смещенная оценка автокорреляции используется для неизвестной истинной автокорреляции. Метод Юле-Уокера AR дает те же результаты, что и оценка максимальной энтропии.

Использование смещенной оценки автокорреляционной функции гарантирует, что вышеуказанная автокорреляционная матрица является положительной определенной. Следовательно, матрица является обратимой, и решение гарантированно существует. Кроме того, вычисленные таким образом параметры AR всегда приводят к стабильной полюсной модели. Уравнения Юле - Уокера могут быть решены эффективно с помощью алгоритма Левинсона, который использует преимущество эрмитовской структуры Тёплица автокорреляционной матрицы.

Функция панели инструментов pyulear реализует метод Юле-Уокера AR. Например, сравните спектр речевого сигнала, используя метод Уэлча и метод Юле-Уокера AR. Сначала вычислите и постройте график периодограммы Уэлча.

load mtlb
pwelch(mtlb,hamming(256),128,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Спектр AR Юле-Уокера более гладкий, чем периодограмма, из-за простой лежащей в основе полюсной модели.

order = 14;
pyulear(mtlb,order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Метод Бурга

Открыть сценарий в реальном времени

Метод Бурга для спектральной оценки AR основан на минимизации ошибок прямого и обратного прогнозирования при удовлетворении рекурсии Левинсона-Дурбина. В отличие от других способов оценки AR, метод Бурга позволяет избежать вычисления автокорреляционной функции и вместо этого непосредственно оценивает коэффициенты отражения.

Основными преимуществами способа Бурга являются разрешение близко расположенных синусоид в сигналах с низким уровнем шума и оценка коротких записей данных, в этом случае оценки спектральной плотности мощности AR очень близки к истинным значениям. Кроме того, метод Бурга обеспечивает стабильную AR-модель и является вычислительно эффективным.

Точность метода Бурга ниже для моделей высокого порядка, длинных записей данных и высоких отношений сигнал-шум (что может вызвать расщепление линий или генерацию посторонних пиков в оценке спектра). Спектральная оценка плотности, вычисленная методом Бурга, также подвержена сдвигам частоты (относительно истинной частоты), возникающим в результате начальной фазы шумных синусоидальных сигналов. Этот эффект увеличивается при анализе коротких последовательностей данных.

Функция панели инструментов pburg реализует метод Бурга. Сравните оценки спектра речевого сигнала, генерируемого как методом Бурга, так и методом Юле-Уокера AR. Первоначально вычислите и постройте график оценки Бурга.

load mtlb
order = 14;
pburg(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Оценка Юле-Уокера очень похожа, если сигнал достаточно длинный.

pyulear(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Сравните спектр шумного сигнала, вычисленного с использованием метода Бёрга и метода Уэлча. Создайте двухкомпонентный синусоидальный сигнал с частотами 140 Гц и 150 Гц, внедренный в белый гауссов шум дисперсии 0,1 ². Второй компонент имеет вдвое большую амплитуду, чем первый компонент. Дискретизируют сигнал при частоте 1 кГц в течение 1 секунды. Сначала вычислите и постройте график оценки спектра Уэлча.

fs = 1000;
t = (0:fs)/fs;
A = [1 2];
f = [140;150];
xn = A*cos(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));

pwelch(xn,hamming(256),128,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Вычислите и постройте график оценки Бурга с использованием модели порядка 14.

pburg(xn,14,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Ковариация и модифицированные методы ковариации

Открыть сценарий в реальном времени

Ковариационный метод для AR спектральной оценки основан на минимизации ошибки прямого предсказания. Модифицированный способ ковариации основан на минимизации ошибок прямого и обратного предсказания. Функции панели инструментов pcov и pmcov реализовать соответствующие методы.

Сравнение спектра речевого сигнала, генерируемого как ковариационным методом, так и модифицированным ковариационным методом. Сначала вычислите и постройте график оценки ковариационного метода.