Преобразование Уолша-Адамара - это метод несинусоидального ортогонального преобразования, который разлагает сигнал на множество базисных функций. Эти базисные функции являются функциями Уолша, которые являются прямоугольными или квадратными волнами со значениями + 1 или -1. Преобразования Уолша-Адамара также известны как Адамар (см. hadamard функция в программном обеспечении MATLAB), преобразования Уолша или Уолша-Фурье.
Первые восемь функций Уолша имеют следующие значения:
| Индекс | Значения функции Уолша |
|---|---|
| 0 | 1 1 1 1 1 1 1 1 |
| 1 | 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 |
| 2 | 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 |
| 3 | 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 |
| 4 | 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 |
| 5 | 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 |
| 6 | 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 |
| 7 | 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 |
Преобразование Уолша-Адамара возвращает значения последовательности. Последовательность является более обобщенным понятием частоты и определяется как половина от среднего числа пересечений нуля за единицу временного интервала. Каждая функция Уолша имеет уникальное значение последовательности. Для оценки частот сигнала в исходном сигнале можно использовать возвращенные значения последовательности.
Для хранения функций Уолша используются три различные схемы упорядочения: секвенция, Адамар и диадик. Последовательность упорядочения, которая используется в приложениях обработки сигналов, имеет функции Уолша в порядке, показанном в таблице выше. Порядок Адамара, который используется в управляющих приложениях, упорядочивает их как 0, 4, 6, 2, 3, 7, 5, 1. Диадический или серый порядок кодов, который используется в математике, упорядочивает их как 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4.
Преобразование Уолша-Адамара используется в ряде приложений, таких как обработка изображения, обработка речи, фильтрация и анализ спектра мощности. Он очень полезен для снижения требований к пропускной способности системы хранения данных и анализа широкого спектра. Как и БПФ, преобразование Уолша-Адамара имеет быструю версию, быстрое преобразование Уолша-Адамара (fwht). По сравнению с FFT, FWHT требует меньше места для хранения и быстрее вычисляется, потому что он использует только реальные дополнения и вычитания, в то время как FFT требует комплексных значений. FWHT способен представлять сигналы с резкими разрывами более точно, используя меньшее количество коэффициентов, чем FFT. Как FWHT, так и обратный FWHT (ifwht) симметричны и, таким образом, используют идентичные процессы расчета. FWHT и IFWHT для сигнала x (t) длины N определяются как:
, i),
где i = 0,1, ... , N-1 и WAL (n, i) - функции Уолша. Подобно алгоритму Кули - Туки для БПФ, N элементов разлагаются на два набора N/2 элементов, которые затем объединяются с использованием структуры бабочки для формирования БПВТ. Для изображений, где входным сигналом обычно является 2-D сигнал, коэффициенты FWHT вычисляются путем сначала вычисления по строкам, а затем вычисления по столбцам.
Для следующего простого сигнала результирующий FWHT показывает, что x была создана с использованием функций Уолша со значениями последовательности 0, 1, 3 и 6, которые являются ненулевыми индексами преобразованного x. Обратный FWHT воссоздает исходный сигнал.
x = [4 2 2 0 0 2 -2 0] y = fwht(x)
x =
4 2 2 0 0 2 -2 0
y =
1 1 0 1 0 0 1 0x1 = ifwht(y)
x1 =
4 2 2 0 0 2 -2 0