Классическое многомерное масштабирование
Y = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D,p)
Y = cmdscale(D) принимает nоколо-n матрица расстояний Dи возвращает nоколо-p матрица конфигурации Y. Ряды Y являются координатами n точки в p-мерное пространство для некоторых p < n. Когда D является матрицей евклидовых расстояний, расстояния между этими точками задаются D. p - размер наименьшего пространства, в котором n точки, межточечные расстояния которых задаются D может быть встроен.
[Y,e] = cmdscale(D) также возвращает собственные значения Y*Y'. Когда D евклидова, первая p элементы e положительные, остальные ноль. Если первый k элементы e намного больше, чем остальные (n-k), то вы можете использовать первый k столбцы Y как k-мерные точки, межточечные расстояния которых приближены D. Это может обеспечить полезное уменьшение размеров для визуализации, например, для k = 2.
D не обязательно должна быть евклидовой матрицей расстояний. Если это неевклидова или более общая матрица разнородности, то некоторые элементы e отрицательные, и cmdscale выбирает p как число положительных собственных значений. В этом случае сокращение до p или меньше размеров обеспечивает разумное приближение к D только если отрицательные элементы e невелики по величине.
[Y,e] = cmdscale(D,p) также принимает положительное целое число p от 1 до n. p определяет размерность требуемого встраивания Y. Если p возможно вложение размеров, то Y будет иметь размер nоколо-p и e будет иметь размер p-по-1. Если только q размерное вложение с q < p возможно, то Y будет иметь размер nоколо-q и e будет иметь размер p-по-1. Определение p может уменьшить вычислительную нагрузку, когда n очень большой.
Можно указать D либо как матрица полной разнородности, либо в форме вектора верхнего треугольника, например, как выводится pdist. Матрица полной разнородности должна быть действительной и симметричной и иметь нули по диагонали и положительные элементы везде. Матрица разнородности в форме верхнего треугольника должна иметь вещественные положительные записи. Можно также указать D в качестве полной матрицы подобия, с элементами по диагонали и всеми другими элементами меньше единицы. cmdscale преобразует матрицу подобия в матрицу различия таким образом, что расстояния между точками, возвращенными в Y равные или приблизительные sqrt(1-D). Чтобы использовать другое преобразование, необходимо преобразовать подобия перед вызовом cmdscale.
В этом примере показано, как построить карту 10 городов США на основе расстояний между этими городами, используя cmdscale.
Сначала создайте матрицу расстояний и передайте ее в cmdscale. В этом примере: D является матрицей полного расстояния: она квадратная и симметричная, имеет положительные значения от диагонали и имеет нули на диагонали.
cities = ... {'Atl','Chi','Den','Hou','LA','Mia','NYC','SF','Sea','WDC'}; D = [ 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543; 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597; 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494; 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220; 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300; 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923; 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205; 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442; 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329; 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0]; [Y,eigvals] = cmdscale(D);
Далее посмотрите на собственные значения, возвращенные cmdscale. Некоторые из них отрицательные, указывающие на то, что исходные расстояния не евклидовы. Это из-за искривления земли.
format short g [eigvals eigvals/max(abs(eigvals))]
ans = 10×2
9.5821e+06 1
1.6868e+06 0.17604
8157.3 0.0008513
1432.9 0.00014954
508.67 5.3085e-05
25.143 2.624e-06
6.5103e-10 6.7942e-17
-897.7 -9.3685e-05
-5467.6 -0.0005706
-35479 -0.0037026
Однако в этом случае два наибольших положительных собственных значения значительно больше по величине, чем остальные собственные значения. Так, несмотря на отрицательные собственные значения, первые две координаты Y достаточны для разумного воспроизведения D.
Dtriu = D(find(tril(ones(10),-1)))'; maxrelerr = max(abs(Dtriu-pdist(Y(:,1:2))))./max(Dtriu)
maxrelerr =
0.0075371
Вот участок реконструированных мест города в виде карты. Ориентация реконструкции произвольна.
plot(Y(:,1),Y(:,2),'.') text(Y(:,1)+25,Y(:,2),cities) xlabel('Miles') ylabel('Miles')
Определите, как изменяется качество реконструкции при уменьшении точек до расстояний с помощью различных метрик.
Создайте десять точек в 4-D пространстве, близких к 3-D пространству. Выполните линейное преобразование точек таким образом, чтобы их преобразованные значения были близки к 3-D подпространству, не выровненному по координатным осям.
rng default % Set the seed for reproducibility A = [normrnd(0,1,10,3) normrnd(0,0.1,10,1)]; B = randn(4,4); X = A*B;
Уменьшите количество точек в X до расстояний с помощью евклидовой метрики. Найти конфигурацию Y с межточечными расстояниями.
D = pdist(X,'euclidean');
Y = cmdscale(D);Сравните качество реконструкций при использовании 2, 3 или 4 размеров. Маленькое maxerr3 значение указывает, что первые 3 размера обеспечивают хорошую реконструкцию.
maxerr2 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:2))))
maxerr2 = 0.1631
maxerr3 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:3))))
maxerr3 = 0.0187
maxerr4 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr4 = 2.9310e-14
Уменьшите количество точек в X к расстояниям с помощью 'cityblock' метрика. Найти конфигурацию Y с межточечными расстояниями.
D = pdist(X,'cityblock');
[Y,e] = cmdscale(D);Оцените качество реконструкции. e содержит по меньшей мере один отрицательный элемент большой величины, который может объяснять низкое качество реконструкции.
maxerr = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr = 9.0488
min(e)
ans = -5.6586
[1] Себер, Г. А. Ф. Многомерные наблюдения. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1984.
mdscale | pdist | procrustes