Матрица Hat и рычаги

Матрица шляпы

Цель

Матрица hat обеспечивает меру рычагов. Это полезно для исследования того, являются ли одно или несколько наблюдений выходящими относительно их значений X и, следовательно, могут чрезмерно влиять на результаты регрессии.

Определение

Матрица шляпы также известна как матрица проекции, потому что она проецирует вектор наблюдений, y, на вектор предсказаний, $\overset{}{y}$ ^, таким образом ставя «шляпу» на y. Головная матрица H определяется в терминах матрицы X данных:

H = X (^XTX⁾ ^-1XT

и определяет соответствующие или прогнозируемые значения с

$\overset{}{y}^= Hy$ = Xb.

Диагональные элементы H, hii, называются рычагами и удовлетворяют

$\begin{array}{l} _{} \\ _{}^{}_{} 0≤hii≤1∑i=1nhii=p, \end{array}$

где p - число коэффициентов, а n - число наблюдений (строк X) в регрессионной модели. HatMatrix является матрицей n-by-n в Diagnostics таблица.

Как сделать

После получения подогнанной модели, скажем, mdl, использование fitlm или stepwiselm, вы можете:

Отображение HatMatrix индексированием в свойство с использованием точечной нотации
```
mdl.Diagnostics.HatMatrix
```
Когда n велик, HatMatrix может быть дорогостоящим в вычислительном отношении. В этих случаях значения диагонали можно получить непосредственно с помощью
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```

Рычаги

Цель

Леверидж - это мера влияния конкретного наблюдения на регрессионные прогнозы из-за положения этого наблюдения в пространстве входных данных. В общем, чем дальше точка от центра входного пространства, тем больше у нее рычагов. Поскольку сумма значений левериджа равна p, наблюдение i может рассматриваться как отклонение, если его леверидж существенно превышает среднее значение левериджа, p/n, например, значение больше 2 * p/n.

Определение

Рычагом i наблюдения является значение i-го диагонального члена, hii, матрицы шляпы, H, где

H = X (^XTX⁾ -1XT.

Диагональные члены удовлетворяют

$\begin{array}{l} _{} \\ _{}^{}_{} 0≤hii≤1∑i=1nhii=p, \end{array}$

где p - число коэффициентов в регрессионной модели, а n - число наблюдений. Минимальное значение hii равно 1/n для модели с постоянным членом. Если подогнанная модель проходит через начало координат, то минимальное значение рычага равно 0 для наблюдения при x = 0.

Можно выразить совпадающие значения, $\overset{}{y}$ ^, наблюдаемыми значениями, y, так как

$\overset{}{y}^= Hy$ = Xb.

Следовательно, hii выражает, насколько наблюдение _yi оказывает влияние на ${\overset{}{y}}_{^}$ i. Большое значение _hii указывает, что i-й случай удален от центра всех значений X для всех n случаев и имеет больше рычагов.Leverage является вектором столбца n-by-1 в Diagnostics таблица.

Как сделать

После получения подогнанной модели, скажем, mdl, использование fitlm или stepwiselm, вы можете:

Отображение Leverage вектор путем индексирования в свойство с использованием точечной нотации
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```
Постройте график использования значений, установленных в модели, с помощью
```
plotDiagnostics(mdl)
```
См. раздел plotDiagnostics способ LinearModel для получения подробной информации.

Определение наблюдений с высоким уровнем эффективности

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано, как вычислять Leverage значения и оценка наблюдений с высоким рычагом влияния. Загрузите образцы данных и определите ответ и независимые переменные.

load hospital
y = hospital.BloodPressure(:,1);
X = double(hospital(:,2:5));

Подгонка модели линейной регрессии.

mdl = fitlm(X,y);

Постройте график значений рычагов.

plotDiagnostics(mdl)

Figure contains an axes. The axes with title Case order plot of leverage contains 2 objects of type line. These objects represent Leverage, Reference Line.

В этом примере рекомендуемое пороговое значение равно 2 * 5/100 = 0,1. Нет никаких признаков высокой эффективности наблюдений.

См. также

fitlm | LinearModel | plotDiagnostics | stepwiselm

Документация