Документация

Введение в модели смешанных эффектов

В статистике эффект - это все, что влияет на значение переменной ответа при конкретной установке переменных предиктора. Эффекты преобразуются в параметры модели. В линейных моделях эффекты становятся коэффициентами, представляющими пропорциональные вклады модельных членов. В нелинейных моделях эффекты часто имеют специфические физические интерпретации и появляются в более общих нелинейных комбинациях.

Фиксированные эффекты представляют параметры совокупности, предполагаемые одинаковыми при каждом сборе данных. Оценка фиксированных эффектов является традиционной областью регрессионного моделирования. Случайные эффекты, для сравнения, являются случайными переменными, зависящими от выборки. В моделировании случайные эффекты действуют как дополнительные члены ошибки, и их распределения и ковариации должны быть определены.

Например, рассмотрим модель выведения препарата из кровотока. Модель использует время t в качестве предиктора и концентрацию лекарства С в качестве ответа. Термин нелинейной модели C0e-rt объединяет параметры C0 и r, представляющие, соответственно, начальную концентрацию и скорость исключения. Если данные собираются по нескольким индивидуумам, разумно предположить, что скорость исключения является случайной переменной ri в зависимости от индивидуума i, варьирующейся вокруг среднего значения популяции$$\stackrel{}{}$$. Термин _C0e-rt становится

где β = $$\stackrel{}{r}$$- фиксированный эффект, а _bi = $${}_{}ri\stackrel{-}{}$$ r - случайный эффект.

Случайные эффекты полезны, когда данные попадают в естественные группы. В модели элиминации лекарств группы являются просто исследуемыми лицами. Более сложные модели могут группировать данные по возрасту, весу, диете и т. Д. Хотя группы не являются фокусом исследования, добавление случайных эффектов к модели расширяет надежность выводов за пределы конкретной выборки людей.

Модели смешанных эффектов учитывают как фиксированные, так и случайные эффекты. Как и во всех регрессионных моделях, их целью является описание переменной ответа как функции переменных предиктора. Модели со смешанными эффектами, однако, распознают корреляции в подгруппах образцов. Таким образом, они обеспечивают компромисс между полным игнорированием групп данных и подгонкой каждой группы с помощью отдельной модели.

Иерархия моделей смешанных эффектов

Предположим, что данные для модели нелинейной регрессии попадают в одну из m различных групп i = 1,..., m. Чтобы учесть группы в модели, запишите ответ j в группу i как:

yij - ответная реакция, xij - вектор предикторов, start- вектор параметров модели, αij - погрешность измерения или процесса. Индекс j находится в диапазоне от 1 до ni, где ni - количество наблюдений в группе i. Функция f определяет форму модели. Часто xij - это просто время наблюдения tij. Ошибки обычно считаются независимыми и идентичными, обычно распределенными с постоянной дисперсией.

Оценки параметров в startописывают популяцию, предполагая, что эти оценки одинаковы для всех групп. Если, однако, оценки различаются по группам, модель становится

В модели со смешанными эффектами γ i может быть комбинацией фиксированного и случайного эффекта:

Случайные эффекты bi обычно описываются как многомерные, нормально распределенные, со средним нулем и ковариацией ("covariance Оценивая фиксированные эффекты β и ковариацию случайных эффектов ("" convariance of the random effects ""), дает описание совокупности, которая не предполагает, что параметры "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" " Оценка случайных эффектов bi также дает описание конкретных групп в данных.

Параметры модели не должны идентифицироваться с помощью отдельных эффектов. В общем случае для идентификации параметров с линейными комбинациями фиксированных и случайных эффектов используются расчетные матрицы А и В:

Если матрицы конструкции различаются между группами, модель становится

Если матрицы конструкции также различаются между наблюдениями, модель становится

Некоторые из групповых предикторов в xij могут не меняться при наблюдении j. Назвав эти vi, модель становится

Определение моделей смешанных эффектов

Предположим, что данные для модели нелинейной регрессии попадают в одну из m различных групп i = 1,..., m. (В частности, предположим, что группы не вложены.) Чтобы задать общую нелинейную модель смешанных эффектов для этих данных:

Модель:

Эта формулировка нелинейной модели смешанных эффектов использует следующую нотацию:

Например, рассмотрим модель выведения препарата из кровотока. Модель включает две перекрывающиеся фазы:

Для данных о нескольких лицах i модель

где yij - наблюдаемая концентрация в индивидууме i во время tij. Модель допускает различное время выборки и различное количество наблюдений для разных людей.

Скорости исключения rpi и rqi должны быть положительными, чтобы быть физически значимыми. Обеспечьте это путем введения логарифмических скоростей Rpi = log (_rpi) и _Rqi = log _(rqi) и репарамеризации модели:

Выбор параметров для моделирования со случайными эффектами является важным фактором при построении модели со смешанными эффектами. Один из методов заключается в добавлении случайных эффектов ко всем параметрам и использовании оценок их дисперсий для определения их значимости в модели. Альтернативой является подгонка модели отдельно к каждой группе без случайных эффектов и просмотр вариаций оценок параметров. Если оценка сильно варьируется по группам или если доверительные интервалы для каждой группы имеют минимальное перекрытие, параметр является хорошим кандидатом для случайного эффекта.

Чтобы ввести фиксированные эффекты β и случайные эффекты bi для всех параметров модели, повторно экспрессируйте модель следующим образом:

В нотации общей модели:

где ni - количество наблюдений отдельных i. В этом случае матрицы Ai и Bi проектирования являются, по крайней мере изначально, матрицами тождества 4 на 4. Матрицы проектирования могут быть изменены, при необходимости, для введения взвешивания отдельных эффектов или зависимости от времени.

Подгонка модели и оценка ковариационной матрицы Startчасто приводит к дальнейшим уточнениям. Относительно небольшая оценка дисперсии случайного эффекта предполагает, что его можно удалить из модели. Аналогично, относительно небольшие оценки ковариаций среди определенных случайных эффектов предполагают, что полная ковариационная матрица не нужна. Так как случайные эффекты не наблюдаются, Ψ должен быть оценен косвенно. Задание диагональной или блочно-диагональной ковариационной схемы для, может улучшить сходимость и эффективность алгоритма аппроксимации.

Функции Toolbox™ статистики и машинного обучения nlmefit и nlmefitsa подгонять общую нелинейную модель смешанных эффектов к данным, оценивая фиксированные и случайные эффекты. Функции также оценивают ковариационную матрицу для случайных эффектов. Дополнительные диагностические результаты позволяют оценить компромиссы между количеством параметров модели и степенью соответствия.

Определение ковариатных моделей

Если модель в разделе Определение моделей смешанных эффектов предполагает зависимую от группы ковариату, такую как вес (w), модель становится:

Таким образом, параметр фi для любого индивидуума в iВ-ю группу входят:

Чтобы указать ковариатную модель, используйте 'FEGroupDesign' вариант.

'FEGroupDesign' является p-by-q-by-m массив, указывающий другое p-by-q матрица проектирования с фиксированными эффектами для каждого из m группы. В предыдущем примере массив напоминает следующий:

Выбор nlmefit или nlmefitsa

Набор инструментов для статистики и машинного обучения предоставляет две функции: nlmefit и nlmefitsa для подгонки нелинейных моделей смешанных эффектов. Каждая функция предоставляет различные возможности, которые могут помочь вам решить, какие из них использовать.

• Методы аппроксимации

• Параметры, специфичные для nlmefitsa

• Требования к модели и данным

Использование функций вывода с моделями смешанных эффектов

Outputfcn области options структура определяет одну или несколько функций, вызываемых решателем после каждой итерации. Как правило, функция вывода может использоваться для построения точек в каждой итерации или для отображения величин оптимизации из алгоритма. Чтобы настроить функцию вывода:

Пример функции вывода см. в разделе Выборка функции вывода.

stop = outfun(beta,status,state)

switch state
    case 'iter'
          % Make updates to plot or guis as needed
    case 'init'
          % Setup for plots or guis
    case 'done'
          % Cleanup of plots, guis, or final plot
otherwise
end

stop = outfun(beta,status,state)
stop = false;
% Check if loglikelihood is more than 132.
if status.fval > -132
    stop = true;
end

function retval = stop_outfcn(beta,str,status)
persistent h stop;
if isequal(str.inner.state,'none')
    switch(status)
        case 'init'
            % Initialize dialog
            stop = false;
            h = msgbox('Press STOP to cancel calculations.',...
                'NLMEFIT: Iteration 0 ');
            button = findobj(h,'type','uicontrol');
            set(button,'String','STOP','Callback',@stopper)
            pos = get(h,'Position');
            pos(3) = 1.1 * pos(3);
            set(h,'Position',pos)
            drawnow
        case 'iter'
            % Display iteration number in the dialog title
            set(h,'Name',sprintf('NLMEFIT: Iteration %d',...
                str.iteration))
            drawnow;
        case 'done'
            % Delete dialog
            delete(h);
    end
end
if stop
    % Stop if the dialog button has been pressed
    delete(h)
end
retval = stop;
 
    function stopper(varargin)
        % Set flag to stop when button is pressed
        stop = true;
        disp('Calculation stopped.')
    end
end

opt = statset('OutputFcn', @nlmefitoutputfcn, …)
beta = nlmefit(…, 'Options', opt, …)

opt = statset('OutputFcn', [], …)
beta = nlmefitsa(…, 'Options', opt, …)