Документация

Что такое параметрические нелинейные регрессионные модели?

Параметрические нелинейные модели представляют взаимосвязь между переменной непрерывного ответа и одной или несколькими переменными непрерывного предиктора в форме

где

Напротив, непараметрические модели не пытаются охарактеризовать взаимосвязь между предикторами и ответом с параметрами модели. Описания часто являются графическими, как в случае деревьев решений.

fitnlm пытается найти значения параметров β, которые минимизируют среднеквадратичные различия между наблюдаемыми ответами y и предсказаниями модели f (X, β). Для этого требуется начальное значениеbeta0 перед итеративной модификацией вектора β в вектор с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Подготовка данных

Чтобы начать подгонку регрессии, поместите данные в форму, ожидаемую для подгонки функций. Все методы регрессии начинаются с входных данных в массиве X и данные ответа в отдельном векторе yили входные данные в таблице или массиве наборов данных tbl и данные ответа в виде столбца в tbl. Каждая строка входных данных представляет одно наблюдение. Каждый столбец представляет один предиктор (переменную).

Для таблицы или массива наборов данных tbl, укажите переменную ответа с помощью 'ResponseVar' пара имя-значение:

mdl = fitlm(tbl,'ResponseVar','BloodPressure');

Переменная ответа является последним столбцом по умолчанию.

Нельзя использовать категориальные предикторы для нелинейной регрессии. Категориальный предиктор - это тот, который берет значения из фиксированного набора возможностей.

Представить отсутствующие данные как NaN как для входных данных, так и для данных ответа.

ds = dataset('XLSFile','hospital.xls',...
    'ReadObsNames',true);

load carsmall
ds = dataset(Weight,Model_Year,MPG);

tbl = readtable('hospital.xls',...
    'ReadRowNames',true);

load carsmall
tbl = table(Weight,Model_Year,MPG);

load carsmall
X = [Weight Horsepower Cylinders Model_Year];
y = MPG;

[X, Xnames] = xlsread('hospital.xls');
y = X(:,4); % response y is systolic pressure
X(:,4) = []; % remove y from the X matrix

Представление нелинейной модели

Существует несколько способов представления нелинейной модели. Используйте все, что наиболее удобно.

Нелинейная модель является обязательным входом для fitnlm, в modelfun вход.

fitnlm предполагает, что функция отклика f (X, β) является гладкой в параметрах β. Если ваша функция не плавна,fitnlm может не обеспечить оптимальные оценки параметров.

• Дескриптор функции для анонимной функции или файла функции

• Текстовое представление формулы

function yhat = hougen(beta,x)
%HOUGEN Hougen-Watson model for reaction kinetics.
%   YHAT = HOUGEN(BETA,X) gives the predicted values of the
%   reaction rate, YHAT, as a function of the vector of 
%   parameters, BETA, and the matrix of data, X.
%   BETA must have 5 elements and X must have three
%   columns.
%
%   The model form is:
%   y = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3)
%
%   Reference:
%      [1]  Bates, Douglas, and Watts, Donald, "Nonlinear
%      Regression Analysis and Its Applications", Wiley
%      1988 p. 271-272.

%   Copyright 1993-2004 The MathWorks, Inc. 
%   B.A. Jones 1-06-95.

b1 = beta(1);
b2 = beta(2);
b3 = beta(3);
b4 = beta(4);
b5 = beta(5);

x1 = x(:,1);
x2 = x(:,2);
x3 = x(:,3);

yhat = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3);

modelfun = @(b,x)(b(1)*x(:,2) - x(:,3)/b(5))./...
(1 + b(2)*x(:,1) + b(3)*x(:,2) + b(4)*x(:,3));

modelfun = 'y ~ (b1*x2 - x3/b5)/(1 + b2*x1 + b3*x2 + b4*x3)';

Выбрать начальный вектор beta0

Начальный вектор для итераций подгонки, beta0, может в значительной степени влиять на качество полученной подогнанной модели. beta0 дает размерность задачи, означающую, что ей нужна правильная длина. Хороший выбор beta0 приводит к быстрой, надежной модели, в то время как плохой выбор может привести к длительным вычислениям или к неадекватной модели.

Сложно давать советы по выбору хорошего beta0. Если вы считаете, что определенные компоненты вектора должны быть положительными или отрицательными, установите beta0 чтобы иметь эти характеристики. Если известно приблизительное значение других компонентов, включите их в beta0. Однако если вы не знаете хороших значений, попробуйте случайный вектор, например

beta0 = randn(nVars,1);
% or
beta0 = 10*rand(nVars,1);

Вписать нелинейную модель в данные

Синтаксис для подгонки модели нелинейной регрессии с использованием таблицы или массива наборов данных tbl является

mdl = fitnlm(tbl,modelfun,beta0)

Синтаксис для подгонки модели нелинейной регрессии с использованием числового массива X и числовой вектор ответа y является

mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

Сведения о представлении входных параметров см. в разделах Подготовка данных, Представление нелинейной модели и Выбор начального вектора beta0.

fitnlm предполагает, что переменная ответа в таблице или массиве набора данных tbl является последним столбцом. Чтобы изменить это, используйте ResponseVar пара «имя-значение» для присвоения имени столбцу ответа.

Проверка качества и настройка установленной нелинейной модели

Существуют диагностические графики, помогающие проверить качество модели. plotDiagnostics(mdl) дает различные графики, включая графики рычагов и расстояния Кука. plotResiduals(mdl) дает разницу между подогнанной моделью и данными.

Существуют также свойства mdl которые относятся к качеству модели. mdl.RMSE дает среднеквадратическую ошибку между данными и подогнанной моделью. mdl.Residuals.Raw дает необработанные остатки. mdl.Diagnostics содержит несколько полей, например Leverage и CooksDistance, это может помочь вам определить особенно интересные наблюдения.

В этом примере показано, как исследовать подогнанную нелинейную модель с использованием диагностических, остаточных и срезанных графиков.

Загрузите образцы данных.

load reaction

Создание нелинейной модели скорости как функции reactants с использованием hougen.m функция.

beta0 = ones(5,1);
mdl = fitnlm(reactants,...
    rate,@hougen,beta0);

Создайте график использования данных и модели.

plotDiagnostics(mdl)

Есть один момент, который имеет высокие рычаги влияния. Найдите точку.

[~,maxl] = max(mdl.Diagnostics.Leverage)

maxl = 6

Изучите график остатков.

plotResiduals(mdl,'fitted')

Ничто не выделяется как излишество.

Используйте график среза, чтобы показать влияние каждого предиктора на модель.

plotSlice(mdl)

Можно перетащить вертикальные пунктирные синие линии, чтобы увидеть влияние изменения одного предиктора на ответ. Например, перетащите линию X2 вправо и обратите внимание на изменение уклона линии X3.

Прогнозирование или моделирование ответов с использованием нелинейной модели

В этом примере показано, как использовать методы predict, feval, и random прогнозировать и моделировать ответы на новые данные.

Случайная генерация выборки из распределения Коши.

rng('default')
X = rand(100,1);
X = tan(pi*X - pi/2);

Создание ответа в соответствии с моделью y = b1*(pi /2 + atan((x - b2) / b3)) и добавить шум в ответ.

modelfun = @(b,x) b(1) * ...
    (pi/2 + atan((x - b(2))/b(3)));
y = modelfun([12 5 10],X) + randn(100,1);

Поместите модель, начиная с произвольных параметров b = [1,1,1].

beta0 = [1 1 1]; % An arbitrary guess
mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

mdl = 
Nonlinear regression model:
    y ~ b1*(pi/2 + atan((x - b2)/b3))

Estimated Coefficients:
          Estimate      SE       tStat       pValue  
          ________    _______    ______    __________

    b1     12.082     0.80028    15.097    3.3151e-27
    b2     5.0603      1.0825    4.6747    9.5063e-06
    b3       9.64     0.46499    20.732    2.0382e-37


Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 97
Root Mean Squared Error: 1.02
R-Squared: 0.92,  Adjusted R-Squared 0.918
F-statistic vs. zero model: 6.45e+03, p-value = 1.72e-111

Соответствующие значения находятся в пределах нескольких процентов от параметров [12,5,10].

Осмотрите посадку.

plotSlice(mdl)

Xnew = [-15;5;12];
[ynew,ynewci] = predict(mdl,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

ynewci = 3×2

    4.8233    6.0010
   18.4555   19.3490
   25.0170   28.0151

ds = dataset({X,'X'},{y,'y'});
mdl2 = fitnlm(ds,modelfun,beta0);

Xnew = [-15;5;12];
ynew = feval(mdl2,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

Xnew = [-15;5;12];
ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.0505
   19.0893
   25.4647

ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.3813
   19.2157
   26.6541