Доверительные интервалы полинома
Y = polyconf(p,X)
[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S)
[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S,param1,val1,param2,val2,...)
Y = polyconf(p,X) вычисляет полином p по значениям в X. p - вектор коэффициентов в степенях убывания.
[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S) принимает выходные данные p и S от polyfit и генерирует 95% интервалов прогнозирования Y ± DELTA для новых наблюдений при значениях в X.
[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S, указывает дополнительные пары имя/значение параметра, выбранные из следующего списка.param1,val1,param2,val2,...)
| Параметр | Стоимость |
|---|---|
'alpha' | Значение от 0 до 1, определяющее доверительный уровень |
'mu' | Двухэлементный вектор, содержащий параметры центрирования и масштабирования. С помощью этой опции |
'predopt' | Также |
'simopt' | Также |
'predopt' и 'simopt' параметры могут быть поняты с точки зрения следующих функций:
p (x) - неизвестная средняя функция, оцененная по посадке
l (x) - нижняя доверительная граница
u (x) - верхняя доверительная граница
Предположим, вы делаете новое наблюдение yn + 1 при xn + 1, так что
yn + 1 (xn + 1) = p (xn + 1) + αn + 1
По умолчанию интервал [ln + 1 (xn + 1), un + 1 (xn + 1)] является 95% доверительной границей для yn + 1 (xn + 1).
Следующие комбинации 'predopt' и 'simopt' параметры позволяют задать другие границы.
'simopt' | 'predopt' | Ограниченная величина |
|---|---|---|
'off' | 'observation' | yn + 1 (xn + 1) (по умолчанию) |
'off' | 'curve' | p (xn + 1) |
'on' | 'observation' | yn + 1 (x), для всех x |
'on' | 'curve' | p (x), для всех x |
В общем, 'observation' интервалы шире, чем 'curve' интервалы, из-за дополнительной неопределенности прогнозирования нового значения отклика (кривая плюс случайные ошибки). Аналогично, одновременные интервалы шире, чем несимметричные интервалы, из-за дополнительной неопределенности ограничивающих значений для всех предикторов x.
Поместите многочлен в набор данных выборки и оцените 95% интервалы прогнозирования и корни аппроксимированного многочлена. Постройте график данных и оценок и отобразите аппроксимированное полиномиальное выражение с помощью вспомогательной функции polystr, код которого появляется в конце этого примера.
Создание выборочных точек данных (x,y) с квадратичным трендом.
rng('default') % For reproducibility x = -5:5; y = x.^2 - 20*x - 3 + 5*randn(size(x));
Подгонка многочлена второй степени к данным с помощью polyfit.
degree = 2; % Degree of the fit
[p,S] = polyfit(x,y,degree);Оценка 95% интервалов прогнозирования с помощью polyconf.
alpha = 0.05; % Significance level [yfit,delta] = polyconf(p,x,S,'alpha',alpha);
Постройте график данных, аппроксимированного полинома и интервалов прогнозирования. Отображение аппроксимированного полиномиального выражения с помощью вспомогательной функции polystr.
plot(x,y,'b+') hold on plot(x,yfit,'g-') plot(x,yfit-delta,'r--',x,yfit+delta,'r--') legend('Data','Fit','95% Prediction Intervals') title(['Fit: ',texlabel(polystr(round(p,2)))]) hold off
Найти корни многочлена p.
r = roots(p)
r = 2×1
17.5152
-0.1017
Поскольку корни - это реальные значения, их также можно построить. Оцените соответствующие значения и интервалы прогнозирования для интервала x, который включает корни. Затем постройте график корней и оценок.
if isreal(r) xmin = min([r(:);x(:)]); xrange = range([r(:);x(:)]); xExtended = linspace(xmin - 0.1*xrange, xmin + 1.1*xrange,1000); [yfitExtended,deltaExtended] = polyconf(p,xExtended,S,'alpha',alpha); plot(x,y,'b+') hold on plot(xExtended,yfitExtended,'g-') plot(r,zeros(size(r)),'ko') plot(xExtended,yfitExtended-deltaExtended,'r--') plot(xExtended,yfitExtended+deltaExtended,'r--') plot(xExtended,zeros(size(xExtended)),'k-') legend('Data','Fit','Roots of Fit','95% Prediction Intervals') title(['Fit: ',texlabel(polystr(round(p,2)))]) axis tight hold off end
Кроме того, можно использовать polytool для интерактивной полиномиальной подгонки.
polytool(x,y,degree,alpha)
Вспомогательная функция
polystr.m файл определяет polystr функция помощника.
type polystr.m % Display contents of polystr.m file
function s = polystr(p)
% POLYSTR Converts a vector of polynomial coefficients to a character string.
% S is the string representation of P.
if all(p == 0) % All coefficients are 0.
s = '0';
else
d = length(p) - 1; % Degree of polynomial.
s = []; % Initialize s.
for a = p
if a ~= 0 % Coefficient is nonzero.
if ~isempty(s) % String is not empty.
if a > 0
s = [s ' + ']; % Add next term.
else
s = [s ' - ']; % Subtract next term.
a = -a; % Value to subtract.
end
end
if a ~= 1 || d == 0 % Add coefficient if it is ~=1 or polynomial is constant.
s = [s num2str(a)];
if d > 0 % For nonconstant polynomials, add *.
s = [s '*'];
end
end
if d >= 2 % For terms of degree > 1, add power of x.
s = [s 'x^' int2str(d)];
elseif d == 1 % No power on x term.
s = [s 'x'];
end
end
d = d - 1; % Increment loop: Add term of next lowest degree.
end
end
end