Документация

Собственные значения

Символические собственные значения квадратной матрицы A или символические собственные значения и собственные векторы A вычисляются, соответственно, с помощью команд E = eig(A) и [V,E] = eig(A).

Аналоги переменной точности: E = eig(vpa(A)) и [V,E] = eig(vpa(A)).

Собственные значения A являются нулями характеристического многочлена A, det(A-x*I), которая вычисляется с помощью charpoly(A).

Матрица H в последнем разделе приведен первый пример:

H = sym([8/9 1/2 1/3; 1/2 1/3 1/4; 1/3 1/4 1/5])

H =
[ 8/9, 1/2, 1/3]
[ 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/3, 1/4, 1/5]

Матрица является сингулярной, поэтому одно из ее собственных значений должно быть равно нулю. Заявление

[T,E] = eig(H)

создает матрицы T и E. Столбцы T являются собственными векторами H и диагональные элементы E являются собственными значениями H:

T =
[ 3/10, 218/285 - (4*12589^(1/2))/285, (4*12589^(1/2))/285 + 218/285]
[ -6/5,     292/285 - 12589^(1/2)/285,     12589^(1/2)/285 + 292/285]
[    1,                             1,                             1]
 
E =
[ 0,                       0,                       0]
[ 0, 32/45 - 12589^(1/2)/180,                       0]
[ 0,                       0, 12589^(1/2)/180 + 32/45]

Может быть проще понять структуру матриц собственных векторов, Tи собственные значения, E, при преобразовании T и E в десятичное представление. Для этого выполните следующие действия. Команды

Td = double(T)
Ed = double(E)

вернуть

Td =
    0.3000   -0.8098    2.3397
   -1.2000    0.6309    1.4182
    1.0000    1.0000    1.0000

Ed =
         0         0         0
         0    0.0878         0
         0         0    1.3344

Первое собственное значение равно нулю. Соответствующий собственный вектор (первый столбец Td) совпадает с основанием для пустого пространства, найденного в последнем разделе. Два других собственных значения являются результатом применения квадратичной формулы к $${}^{\mathrm{x2}}\frac{\mathrm{-}}{\mathrm{}}\frac{\mathrm{6445x\; +}}{\mathrm{}}$$2532160 которая является квадратичным фактором вfactor(charpoly(H, x)):

syms x
g = factor(charpoly(H, x))/x
solve(g(3))

g =
[ 1/(2160*x), 1, (2160*x^2 - 3072*x + 253)/x]
ans =
 32/45 - 12589^(1/2)/180
 12589^(1/2)/180 + 32/45

Символьные выражения замкнутой формы для собственных значений возможны только тогда, когда характеристический многочлен может быть выражен как произведение рациональных многочленов степени четыре или меньше. Матрица Россера - это классическая тестовая матрица численного анализа, которая иллюстрирует это требование. Заявление

R = sym(rosser)

производит

R =
[  611,  196, -192,  407,   -8,  -52,  -49,   29]
[  196,  899,  113, -192,  -71,  -43,   -8,  -44]
[ -192,  113,  899,  196,   61,   49,    8,   52]
[  407, -192,  196,  611,    8,   44,   59,  -23]
[   -8,  -71,   61,    8,  411, -599,  208,  208]
[  -52,  -43,   49,   44, -599,  411,  208,  208]
[  -49,   -8,    8,   59,  208,  208,   99, -911]
[   29,  -44,   52,  -23,  208,  208, -911,   99]

Команды

p = charpoly(R, x);
factor(p)

произвести

ans =
 
[ x, x - 1020, x^2 - 1040500, x^2 - 1020*x + 100, x - 1000, x - 1000]

Характерный многочлен (степени 8) красиво множится в произведение двух линейных членов и трёх квадратичных членов. Сразу видно, что четыре из собственных значений равны 0, 1020 и двойному корню в 1000. Остальные четыре корня получены из оставшихся квадратиков. Использовать

eig(R)

найти все эти значения

ans =
                  0
               1000
               1000
               1020
 510 - 100*26^(1/2)
 100*26^(1/2) + 510
    -10*10405^(1/2)
     10*10405^(1/2)

Матрица Россера не является типичным примером; для полной матрицы 8 на 8 редко бывает иметь характерный многочлен, который факторизирует в такую простую форму. При изменении двух «угловых» элементов R от 29 до 30 с командами

S = R;
S(1,8) = 30;
S(8,1) = 30;

а затем попробуйте

p = charpoly(S, x)

вы находите

p =
x^8 - 4040*x^7 + 5079941*x^6 + 82706090*x^5...
 - 5327831918568*x^4 + 4287832912719760*x^3...
 - 1082699388411166000*x^2 + 51264008540948000*x...
 + 40250968213600000

Вы также находите, что factor(p) является p сам. То есть, характеристический многочлен не может быть факторизован над обоснованиями.

Для этой модифицированной матрицы Россера

F = eig(S)

прибыль

F = 
 -1020.053214255892
  -0.17053529728769
 0.2180398054830161
  999.9469178604428
  1000.120698293384
  1019.524355263202
  1019.993550129163
  1020.420188201505

Обратите внимание, что эти значения близки к собственным значениям исходной матрицы Россера.

Также можно попытаться вычислить собственные значения символьных матриц, но решения замкнутых форм встречаются редко. Преобразование Гивенса генерируется как экспонента матрицы элементарной матрицы

Команды символьных математических Toolbox™

syms t
A = sym([0 1; -1 0]);
G = expm(t*A)

вернуть

G =
[           exp(-t*1i)/2 + exp(t*1i)/2,
    (exp(-t*1i)*1i)/2 - (exp(t*1i)*1i)/2]
[ - (exp(-t*1i)*1i)/2 + (exp(t*1i)*1i)/2,
            exp(-t*1i)/2 + exp(t*1i)/2]

Это выражение можно упростить с помощью simplify:

G = simplify(G)

G = 
[  cos(t), sin(t)]
[ -sin(t), cos(t)]

Далее команда

g = eig(G)

производит

g =
 cos(t) - sin(t)*1i
 cos(t) + sin(t)*1i

Можно переписать g в терминах экспонент:

g = rewrite(g, 'exp')

g = 
 exp(-t*1i)
  exp(t*1i)