Вычислите фи-функцию (n) Эйлера $$$$для целого числа $$n\mathrm{}\mathrm{=}$$35.

p = eulerPhi(35)

p = 24

Функция Euler phi удовлетворяет мультипликативному свойству, $$\mathrm{если}$$два $$$$целых числа $$x$$ и y относительно простые (также известные как coprim). Целочисленная факторизация 35 равна 7 и 5, которые относительно простые. Показать, $$\mathrm{}\mathrm{}что$$ (35) удовлетворяет мультипликативному свойству.

Рассчитайте ($$\mathrm{x)}$$и ($$y)$$для двух факторов.

px = eulerPhi(7)

px = 6

py = eulerPhi(5)

py = 4

Убедитесь, что px и py удовлетворяют мультипликативному свойству.

p = px*py

p = 24

Если положительное целое число $$n$$ имеет простую факторизацию $$n{=}_{\mathrm{}}^{{}_{\mathrm{}}}{}_{\mathrm{}}^{{}_{\mathrm{}}}{\mathrm{p1k1p2k2}}_{.}^{{.}_{.}}$$ prkr с различными простыми $${}_{\mathrm{}}{\mathrm{коэффициентами}}_{\mathrm{}}p1,{}_{}$$p2,..., pr, то функция Эйлера phi удовлетворяет формуле произведения

$$\mathrm{(n)}=\mathrm{}n\frac{\mathrm{}}{{(}_{\mathrm{}}}\mathrm{}1-1p1\frac{\mathrm{)}}{{}_{\mathrm{(}}}\mathrm{}1-1p2\frac{\mathrm{)}}{{.}_{.}}.$$(1-1pr).

Целое число $$n\mathrm{=}\mathrm{}$$36 имеет различные простые $$\mathrm{множители}$$ 2 $$\mathrm{и}$$3. Показать, $$\mathrm{что\; (}\mathrm{36)}\mathrm{}$$удовлетворяет формуле продукта Эйлера.

Объявите $$\mathrm{}36$$ как символическое число и оцените ($$\mathrm{36}\mathrm{}\mathrm{}$$).

n = sym(36)

n = $$36$$

p = eulerPhi(n)

p = $$12$$

Перечислите основные факторы $$\mathrm{}36$$.

f_n = factor(n)

f_n = $$\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 3& 3\end{array}\right)$$

Подставьте простые коэффициенты $$2$$ и $$3$$ в формулу продукта.

p_product = n*(1-1/2)*(1-1/3)

p_product = $$12$$

Теорема Эйлера утверждает, что $${}^{\mathrm{astart(}n})\mathrm{}\mathrm{\equiv 1}($$modn) тогда и только тогда, когда два положительных $$$$целых числа a $$$$и n относительно простые. Показать, что Euler phi $$функция\; (n$$) удовлетворяет теореме Эйлера для $$\mathrm{целых\; чисел}\mathrm{}$$a = $$\mathrm{15}\mathrm{}$$и n = 4.

a = 15;
n = 4;
isCongruent = powermod(a,eulerPhi(n),n) == mod(1,n)

isCongruent = logical
   1

Подтвердить, что a и n являются относительно простыми.

g = gcd(a,n)

g = 1

Вычислите функцию Euler phi ($$\mathrm{n)}$$для целых чисел $$$$n от 1 до 1000.

P = eulerPhi(1:1000);

Найдите среднее значение ($$n)$$/n.

Pave = mean(P./(1:1000))

Pave = 0.6082