Определение функции

Функция в этом примере

Сначала создайте функцию.

syms x
num = 3*x^2 + 6*x -1;
denom = x^2 + x - 3;
f = num/denom

f = 
$$\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1}{x^2+x-3}$$

Постройте график функции с помощью fplot. fplot функция автоматически отображает вертикальные асимптоты.

fplot(f)

Найти асимптоты

Чтобы найти горизонтальную асимптоту $$f$$ математически, возьмите предел $$f$$ как $$x$$ приближается к положительной бесконечности.

limit(f,Inf)

ans = $$3$$

Предел по мере приближения $$x$$ к отрицательной бесконечности также равен 3. Этот результат означает, что линия $$y\mathrm{=}$$ 3 является горизонтальной асимптотой $$f$$.

Чтобы найти вертикальные асимптоты $$f$$, установите знаменатель равным 0 и решите его.

roots = solve(denom)

roots = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

roots указывает, что вертикальные асимптоты являются линиями

и

$\mathit{x}\frac{=\mathrm{}-\sqrt{1}}{\mathrm{+}}$132.

Найти максимум и минимум

На графике видно, что $$f$$ имеет локальный максимум между точками $$x=\mathrm{}$$-2 $$и\mathrm{x}$$= 0. Он также имеет локальный минимум $$между\mathrm{}$$x = -$$6\mathrm{}$$и x = -2. Чтобы $$$$найти координаты x максимума и минимума, сначала возьмем $$$$производную f.

f1 = diff(f)

f1 = 
$$\frac{6\hspace{0.17em}x+6}{x^2+x-3}-\frac{\left(2\hspace{0.17em}x+1\right)\hspace{0.17em}\left(3\hspace{0.17em}{x}^2+6\hspace{0.17em}x-1\right)}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

Чтобы упростить это выражение, введите следующее.

f1 = simplify(f1)

f1 = 
$$-\frac{3\hspace{0.17em}{x}^2+16\hspace{0.17em}x+17}{{\left(x^2+x-3\right)}^2}$$

Затем задайте производную, равную 0, и решите для критических точек.

crit_pts = solve(f1)

crit_pts = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\\ \frac{\sqrt{13}}{3}-\frac{8}{3}\end{array}\right)$$

Как $$$$показывает график f, функция имеет локальный минимум при

и локальный максимум при

${\mathit{}}_{\mathrm{}}\frac{\mathrm{}\sqrt{\mathrm{}}}{\mathrm{x1\; =-8+133}}$.

Постройте график максимума и минимума f.

fplot(f)
hold on
plot(double(crit_pts), double(subs(f,crit_pts)),'ro')
title('Maximum and Minimum of f')
text(-4.8,5.5,'Local minimum')
text(-2,4,'Local maximum')
hold off

Найти точку перегиба

Чтобы найти точку перегиба $$f$$, установите вторую производную равной 0 и решите для этого условия.

f2 = diff(f1);
inflec_pt = solve(f2,'MaxDegree',3);
double(inflec_pt)

ans = 3×1 complex

  -5.2635 + 0.0000i
  -1.3682 - 0.8511i
  -1.3682 + 0.8511i

В этом примере действительным числом является только первый элемент, поэтому это единственная точка перегиба. MATLAB ® не всегда возвращает корни в уравнение в том же порядке.

Вместо выбора реального корня путем индексирования в inter_pt, идентифицируют действительный корень, определяя, какие корни имеют нулевую мнимую часть.

idx = imag(double(inflec_pt)) == 0;
inflec_pt = inflec_pt(idx)

inflec_pt = 
$$-\frac{13}{9\hspace{0.17em}{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}}-{\left(\frac{169}{54}-\frac{\sqrt{2197}}{18}\right)}^{1/3}-\frac{8}{3}$$

Постройте график точки перегиба. Дополнительный аргумент [-9 6] в fplot расширяет диапазон $$$$значений x на графике, чтобы можно было видеть точку перегиба более четко, как показано на рисунке.

fplot(f,[-9 6])
hold on
plot(double(inflec_pt), double(subs(f,inflec_pt)),'ro')
title('Inflection Point of f')
text(-7,1,'Inflection point')
hold off