Гармонический анализ выходного сигнала передаточной функции

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере извлекаются решения замкнутой формы для коэффициентов частот в выходном сигнале. Выходной сигнал является результатом прохождения входного сигнала через аналитическую нелинейную передаточную функцию.

В этом примере используются следующие возможности символьного математического Toolbox™:

Расширение серии Taylor с использованием taylor
Манипулирование и упрощение формул

Мотивация

Для мотивации решения берем простой элемент из теории схем: идеальный диод (в операции прямого смещения). Текущий, I, - выходной сигнал, экспоненциально зависящий от входного сигнала, V. Диоды нашли применение при создании таких устройств, как смесители и усилители, где понимание гармонической структуры выходного сигнала может быть полезным при характеристике устройства и при выполнении проектных спецификаций.

syms Is V Vo real;
I = Is*(exp(V/Vo) - 1)

I =  $Is (e^{V / Vo} - 1)$

Если V - линейная комбинация из 2 сигналов на частотах LO и RF, нелинейная передаточная функция будет смешивать LO и RF для создания выходного сигнала с содержанием на комбинационных комбинациях гармонических частот: freqs = {LO, 2LO, RF, 2RF, LO-RF, LO-2RF,...}.

Целью этого примера является определение коэффициентов freqs в выходных данных.

Определение входного сигнала

Входной сигнал представляет собой линейную комбинацию двух косинусных сигналов.

syms c1 c2 t LO RF real;
input = c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)

input =  $c_{1} \cos (LO t) + c_{2} \cos (RF t)$

Определение пространства комбинаций гармонических частот

Ниже, harmCombinations - комбинаторная комбинация целых кратных входных частот LO и RF. Мы ограничиваем интересующее пространство, определяемое 3 гармониками каждая в LO и RF направления.

n = 3;
harmCombinations = [kron((0:n)',ones(n*2+1,1)),repmat((-n:n)',n+1,1)];
freqs = harmCombinations*[LO;RF];

Первое n частоты являются только отрицательными гармоническими частотами и поэтому избыточны, учитывая, что входной сигнал является реальным.

freqs = freqs(n+1:end)

freqs = 
 $(\begin{array}{c} 0 \\ RF \\ 2 RF \\ 3 RF \\ LO - 3 RF \\ LO - 2 RF \\ LO - RF \\ LO \\ LO + RF \\ LO + 2 RF \\ LO + 3 RF \\ 2 LO - 3 RF \\ 2 LO - 2 RF \\ 2 LO - RF \\ 2 LO \\ 2 LO + RF \\ 2 LO + 2 RF \\ 2 LO + 3 RF \\ 3 LO - 3 RF \\ 3 LO - 2 RF \\ 3 LO - RF \\ 3 LO \\ 3 LO + RF \\ 3 LO + 2 RF \\ 3 LO + 3 RF \end{array})$

Расширение Тейлора

Чтобы охватить интересующий частотный спектр, серия Тейлора порядка четырех для I(V) достаточно.

s = taylor(I, V, 'Order', 4)

s = 
 $\frac{Is V^{2}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{Is V^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{Is V}{Vo}$

Используйте комбинацию входных сигналов LO и RF частоты и экспресс f в терминах cos(LO*t) и cos(RF*t).

f0 = subs(s, V, input);
f = expand(f0)

f = 
 $\begin{array}{l} \frac{Is {c_{1}}^{2} σ_{2}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{Is {c_{1}}^{3} {\cos (LO t)}^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{2}}^{2} σ_{1}}{2 {Vo}^{2}} + \frac{Is {c_{2}}^{3} {\cos (RF t)}^{3}}{6 {Vo}^{3}} + \frac{Is c_{1} \cos (LO t)}{Vo} + \frac{Is c_{2} \cos (RF t)}{Vo} + \frac{Is c_{1} c_{2} \cos (LO t) \cos (RF t)}{{Vo}^{2}} + \frac{Is c_{1} {c_{2}}^{2} \cos (LO t) σ_{1}}{2 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{1}}^{2} c_{2} σ_{2} \cos (RF t)}{2 {Vo}^{3}} \\ where \\ σ_{1} = {\cos (RF t)}^{2} \\ σ_{2} = {\cos (LO t)}^{2} \end{array}$

Переписать f в терминах единичных степеней косинусов.

f = combine(f, 'sincos')

f = 
 $\frac{Is {c_{1}}^{2}}{4 {Vo}^{2}} + \frac{Is {c_{2}}^{2}}{4 {Vo}^{2}} + \frac{Is c_{1} \cos (LO t)}{Vo} + \frac{Is c_{2} \cos (RF t)}{Vo} + \frac{Is {c_{1}}^{2} \cos (2 LO t)}{4 {Vo}^{2}} + \frac{Is {c_{1}}^{3} \cos (LO t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{1}}^{3} \cos (3 LO t)}{24 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{2}}^{2} \cos (2 RF t)}{4 {Vo}^{2}} + \frac{Is {c_{2}}^{3} \cos (RF t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{2}}^{3} \cos (3 RF t)}{24 {Vo}^{3}} + \frac{Is c_{1} {c_{2}}^{2} \cos (LO t)}{4 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{1}}^{2} c_{2} \cos (RF t)}{4 {Vo}^{3}} + \frac{Is c_{1} c_{2} \cos (LO t + RF t)}{2 {Vo}^{2}} + \frac{Is c_{1} c_{2} \cos (LO t - RF t)}{2 {Vo}^{2}} + \frac{Is c_{1} {c_{2}}^{2} \cos (LO t - 2 RF t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{Is c_{1} {c_{2}}^{2} \cos (LO t + 2 RF t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{1}}^{2} c_{2} \cos (2 LO t + RF t)}{8 {Vo}^{3}} + \frac{Is {c_{1}}^{2} c_{2} \cos (2 LO t - RF t)}{8 {Vo}^{3}}$

Извлечение и отображение коэффициентов

Получить непостоянные, т.е. не-постоянные гармонические частотные члены вида cos(freq*t).

cosFreqs = cos(expand(freqs*t));
terms = collect(setdiff(cosFreqs', sym(1)));

Извлеките коэффициенты для всех членов гармонических частот, включая постоянный ток.

newvars = sym('x', [1,numel(terms)]);
[cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars), newvars);
tx = sym(zeros(1,numel(cx)));
for k=1:numel(newvarsx)
    if newvarsx(k) ~= 1
        tx(k) = terms(newvars == newvarsx(k));
    else
        tx(k) = newvarsx(k);
    end
end
cx = simplify(cx);

Отображение коэффициентов с помощью таблицы, T. Использовать cosFreqs в качестве идентификатора строки.

cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs,'UniformOutput',false);
Frequencies = arrayfun(@char,freqs,'UniformOutput',false);
Coefficients = num2cell(zeros(size(freqs)));
T = table(Frequencies,Coefficients,'RowNames',cosFreqs);

Назначить cx в соответствующие строки T соответствующие косинусным членам tx.

nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx,'UniformOutput',false).';
T(nonzeroCosFreqs,'Coefficients') = arrayfun(@char,cx,'UniformOutput',false).';

Теперь удалите имена строк, поскольку они избыточны.

T.Properties.RowNames = {};

Обратите внимание, что выражения для терминов симметричны в LO и RF.

T=25×2 table
      Frequencies                      Coefficients                 
    _______________    _____________________________________________

    {'0'          }    {'(Is*(c1^2 + c2^2))/(4*Vo^2)'              }
    {'RF'         }    {'(Is*c2*(8*Vo^2 + 2*c1^2 + c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'2*RF'       }    {'(Is*c2^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'3*RF'       }    {'(Is*c2^3)/(24*Vo^3)'                      }
    {'LO - 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'LO - 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO - RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO'         }    {'(Is*c1*(8*Vo^2 + c1^2 + 2*c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'LO + RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO + 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO + 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'2*LO - 3*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - 2*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'2*LO'       }    {'(Is*c1^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'2*LO + RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
      ⋮

Проверить коэффициенты

Как показано ниже, выходной сигнал восстанавливается из коэффициентов и имеет точное совпадение с выходным сигналом.

simplify(f0 - (dot(tx,cx)))

ans =  $0$

Печать нелинейного переноса

Ниже показана конкретная нелинейная передаточная функция, проанализированная выше, во временной и частотной областях для определенных значений частот и отношений напряжений. Сначала извлеките данные.

sample_values = struct('c1',0.4,'c2',1,'LO',800,'RF',13600,'Vo',1,'Is',1);
sample_input = subs(input,sample_values)

sample_input = 
 $\frac{2 \cos (800 t)}{5} + \cos (13600 t)$

sample_output = subs(f,sample_values)

sample_output = 
 $\frac{127 \cos (800 t)}{250} + \frac{\cos (1600 t)}{25} + \frac{\cos (2400 t)}{375} + \frac{\cos (12000 t)}{50} + \frac{\cos (12800 t)}{5} + \frac{233 \cos (13600 t)}{200} + \frac{\cos (14400 t)}{5} + \frac{\cos (15200 t)}{50} + \frac{\cos (26400 t)}{20} + \frac{\cos (27200 t)}{4} + \frac{\cos (28000 t)}{20} + \frac{\cos (40800 t)}{24} + \frac{29}{100}$

sample_freqs = zeros(size(tx));
for k=1:numel(tx)
    cosTerm = subs(tx(k),sample_values);
    freq = simplify(acos(cosTerm),'IgnoreAnalyticConstraints',true)/t;
    sample_freqs(k) = double(freq);
end
sample_heights = double(subs(cx,sample_values));

Затем используйте fplot и stem для построения графика функций и их гармонических частот.

subplot(2,2,1);
fplot(sample_input,[0,0.01])
title Input
subplot(2,2,3);
stem([sample_values.LO, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]);
title 'Input Frequencies'

subplot(2,2,2);
fplot(sample_output,[0,0.01])
title Output
subplot(2,2,4);
stem(sample_freqs,sample_heights)
title 'Output Frequencies'

Figure contains 4 axes. Axes 1 with title Input contains an object of type functionline. Axes 2 with title Input Frequencies contains an object of type stem. Axes 3 with title Output contains an object of type functionline. Axes 4 with title Output Frequencies contains an object of type stem.

Документация