Серия Тейлора
T = taylor(f,var)f с расширением серии Тейлор f до пятого порядка в точке var = 0. Если не указать var, то taylor использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).
T = taylor(___,Name,Value)Name,Value аргументы пары. Можно указать Name,Value после входных аргументов в любом из предыдущих синтаксисов.
Найдите расширения рядов Маклаурина экспоненциальных, синусоидальных и косинусных функций вплоть до пятого порядка.
syms x T1 = taylor(exp(x)) T2 = taylor(sin(x)) T3 = taylor(cos(x))
T1 = x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 T2 = x^5/120 - x^3/6 + x T3 = x^4/24 - x^2/2 + 1
Вы можете использовать sympref для изменения порядка вывода символьных многочленов. Повторное отображение многочленов в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T1
T2
T3T1 = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 T2 = x - x^3/6 + x^5/120 T3 = 1 - x^2/2 + x^4/24
Формат отображения, заданный с помощью sympref сохраняется в текущих и будущих сессиях MATLAB ®. Восстановите значение по умолчанию, указав 'default' вариант.
sympref('default');Найдите расширения рядов Тейлора при x = 1 для этих функций. Точка расширения по умолчанию - 0. Чтобы указать другую точку расширения, используйте ExpansionPoint:
syms x T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
T = x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1
Либо укажите точку расширения в качестве третьего аргумента taylor:
T = taylor(acot(x), x, 1)
T = pi/4 - x/2 + (x - 1)^2/4 - (x - 1)^3/12 + (x - 1)^5/40 + 1/2
Найти расширение серии Maclaurin для f = sin(x)/x. Порядок усечения по умолчанию - 6. Аппроксимация рядов Тейлора этого выражения не имеет члена пятой степени, поэтому taylor аппроксимирует это выражение многочленом четвертой степени:
syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f, x);Использовать Order для управления порядком усечения. Например, аппроксимировать одно и то же выражение вплоть до порядков 8 и 10:
T8 = taylor(f, x, 'Order', 8); T10 = taylor(f, x, 'Order', 10);
Постройте график исходного выражения f и его аппроксимации T6, T8, и T10. Обратите внимание, как точность аппроксимации зависит от порядка усечения.
fplot([T6 T8 T10 f]) xlim([-4 4]) grid on legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',... 'sin(x)/x','Location','Best') title('Taylor Series Expansion')
Найдите расширение серии Тейлора для этого выражения. По умолчанию taylor использует абсолютный порядок, который является порядком усечения вычисляемого ряда.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
T = -x^3/3
Поиск расширения серии Тейлора с относительным порядком усечения с помощью OrderMode. Для некоторых выражений относительный порядок усечения обеспечивает более точные приближения.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
T = - x^7/2520 - x^5/60 - x^3/3
Найдите расширение серии Маклаурина этого многомерного выражения. Если вектор переменных не указан, taylor удовольствия f как функция одной независимой переменной.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f)
T = x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)
Найдите многомерное маклауриновое расширение, указав вектор переменных.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f, [x, y, z])
T = x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2
Вы можете использовать sympref для изменения порядка вывода символьного многочлена. Повторное отображение многочлена в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
TT = 2 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 - y^2/2 + y^4/24 + x - x^3/6 + x^5/120
Формат отображения, заданный с помощью sympref сохраняется в текущей и будущих сессиях MATLAB. Восстановите значение по умолчанию, указав 'default' вариант.
sympref('default');Найдите многомерное расширение Тейлора, указав вектор переменных и вектор значений, определяющих точку расширения:
syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если точка расширения указана как скаляр a, taylor преобразует этот скаляр в вектор той же длины, что и вектор переменных. Все элементы вектора расширения равны a:
T = taylor(f, [x, y], 1, 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если используются оба третьих аргумента a и ExpansionPoint чтобы указать точку расширения, значение, указанное через ExpansionPoint преобладает.
Если var является вектором, то точка расширения a должен быть скаляром или вектором той же длины, что и var. Если var является вектором и a является скаляром, то a расширяется в вектор той же длины, что и var со всеми элементами, равными a.
Если точка расширения является бесконечностью или отрицательной бесконечностью, то taylor вычисляет расширение серии Laurent, которое является серией мощности в 1/var.
Вы можете использовать sympref для изменения порядка вывода символьных многочленов.